トポロジーの問題での質問・・・・・

質問

地球上の１対の対心点ｐ、ｐ＊で温度も気圧も一致するような点がｐ、ｐ＊がそんざいするのを証明せよという問題が出てて
地球の表面を完全な球面とみなして地上の点ｐでの温度ｘ（ｐ）、気圧ｘ（ｐ）が点pの連続関数を使う。のが書かれていたのですが
この問題はいきなりボルスークの定理を使って良いのでしょうか？？
教えてください。

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

まずkyoto2001さんの回答ですが、論旨が不明瞭な部分と推論の誤りがあり、
失礼ですが証明になっていません。

球面に北極と南極を決め、（決め方はkyoto2001さんの回答の（１）のように選びます。）
中心から赤道上の適当な点に引いた半直線をx軸とし、球面上の各点を赤道面上でのx軸に
対する方位角θ（つまり’経度’です）と赤道面面からの仰角ξ（’緯度’に相当します）
で現すことにします。

（１）（３）の推論はＯＫですが、

＞（２）北極と南極をふくむ大円の列を考える。
＞（４）大円の列でその様な二点を選ぶことにより球面上に連続な閉曲線がかける。
とありますが、列は普通可算個の要素を考えるのでその上にどんな関数を考えても
（列の位相は要素間の距離で考える）連続関数になってしまいます。
つまり’列’のような離散的なものを考えたのでは「球面上に連続な閉曲線がかける」とは
言いきれません。
もとの関数が連続だから適当な点列上で考えても自然に補間されて連続関数になるだろうと
考えられたのかも知れませんが、それをいうためにはきちんとした吟味が必要です。

で、kyoto2001さんが（４）の前半でおっしゃりたいことは、感覚的にいえば

一つの大円Ｏを選び、（３）の条件を満たすような対心点の組（p,p*)を選ぶ。
Ｏの「近くの」大円Ｏ'を考えるとＯ'上で（３）の条件を満たすような対心点の組（p',p'*)
であって（p,p*)の「近くに」あるものを選べるはずだ。だからpとp'およびp*とp'*を結ぶ
連続曲線の組であって、そのすべての点で（３）の条件を満たすようなものが取れるだろう。

ということだと思いますが、これは間違いです。

例えばある大円Ｏを考えた時、選んだ対心点の片方pが、球面上におけるpを含むある近傍Ｕ(p)
において最大値を取るただ一つの点であり、もう片方p*がそのある近傍Ｖ(p*)における最小値
を取るただ一つの点である場合を考えて下さい。
このときＵ(p)\p の任意の点における値はＶ(p*)\p*のすべての点の値より小さくなるので、
少なくともＯの「近くの」大円Ｏ'（きちんと書けば Ｏ'∩Ｕ(p) ≠ φまたはＯ'∩Ｖ(p*)≠φ
となるような大円）においては、条件を満たすような対心点を（Ｕ(p)\p,Ｖ(p*)\p*）から選ぶ
ことはできません。すなわち(p,p*)点から出発した場合、連続な曲線は描けません。

＞（４）この閉曲線は必ず赤道を通過することに注意する。
これも誤りです。上で述べたように、そういう閉曲線が書けるということ自体、
簡単にいえませんが、閉曲線が書けたとしてもその閉曲線が赤道と交わるとは限りません。
例えば
今南北のある同緯度の緯線上（つまりξ＝Ｃおよびξ＝－Ｃと現される閉曲線の上）で
連続関数が一定値をとるとしましょう。
明らかに任意のθに対して（θ,Ｃ）と（θ＋π,－Ｃ）は（３）の条件を満たす対心点です。
この点の組を連続になるようにとっていく、つまりθを０から２πまで動かしても
できた閉曲線はもちろん赤道とは交差しません。

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さて質問の方に戻りますが、ボルスークの定理とは
（ボルスーク（Borsuk）の対心点定理）
定理： 球面Ｓから平面Ｒ^2への任意の連続写像ｆに対して、
一対の対心点ｐ、ｐ*∈Ｓでｆ(p)=ｆ(p*)となるものが存在する。

のことですね？

＞いきなりボルスークの定理を使って良いのでしょうか？
とはどういう意味でしょう。

問題において
（１）地球の表面を完全な球面Ｓとする。
（２）地球上の点ｐでの温度と気圧は両方とも点pの連続関数とする。
という２つの条件（つまりただし書きに書いてあること）を仮定すれば、ボルスークの定理
を使えるはずです（というよりボルスークの定理ほとんどそのままですね）。

それとも物理的に（１）（２）のように仮定してしまって良いのだろうか？
と言う疑問ですか？
たしかにどちらの仮定も地球物理に詳しい人から文句が出そうですが、これは数学の問題
なので構わないでしょう。

kyoto2001さんのような方法でも証明はできるかも知れないが、その方法でやろうとすると
上で書いたようにかなり細かい（しかも面倒な）吟味が必要になります。
ボルスークの定理を（その証明も含めて）理解されているのなら、そちらを使った方が
早いでしょう。

回答No.1

kyoto2001

（１）条件を満たさない点の対をえらび北極と南極と呼ぶことにする。
（２）北極と南極をふくむ大円の列を考える。
（３）円周上の連続関数は必ず対心点で互いに同じ値をとる二点を少なくともひと組持つことに注意する。
（４）（２）で考えた大円の列でその様な二点を選ぶことにより球面上に連続な
閉曲線がかける。この閉曲線は必ず赤道を通過することに注意する。
（５）温度と気圧に関して、この赤道を通過する閉曲線を書けば必ず交わる。
（６）その交点がP,P*です。