Max

質問

x^2+y^2=69^2　,　X^2+Y^2=69^2 　なる　制約条件　の　下で

　　1/2 (x*Y-X*y-69*y+69*Y) の　最大値を お願い致します。

回答No.4

178-tall

<-- ANo.1
　「シナリオ」とはいえ、詰め、甘かった。

r=1 のケースを想定。

　x*Y-X*y-y+Y
　= cosθ*sinφ - sinθ*cosφ - sinθ + sinφ
　= sin(φ-θ) - sinθ + sinφ
　= F(θ,φ)
として、
　∂F/∂θ = -cos(φ-θ) - cosθ　　… (1)
　∂F/∂φ =　cos(φ-θ) + cosφ　　… (2)

(1), (2) の零点では、
　cos(φ-θ) = - cosθ → π±(φ-θ) = θ → π=2θ-φ OR π=φ　　… (1)'
　cos(φ-θ) = - cosφ → π±(φ-θ) = φ → π=θ OR π= 2φ-θ　　… (2)'

このうち、max F を与えるのは、π=2θ-φ と π= 2φ-θ だった。
　→ θ= - π/3, φ= π/3

… みたいな調子で如何？

回答No.3

info222_

No.2です。

ANo.2の訂正

>fx=fy=0を満たす(s,t)が停留点ですから、停留点のいずれか
の「fx=fy=0」は
「fs=∂f/∂s=0　かつ　ft=∂f/∂t=0」
の誤りです。訂正します。

なお、
(1)の式の場合, f(s,t)は
x=69cos(s), y=69sin(s), X=69cos(t), Y=69sin(t)
(-π<s<=π, -π<t<=π)
とおくと
(1/2) (x*Y-X*y-69*y+69*Y)
=(1/2)(69^2)(cos(s)sin(t)-cos(t)sin(s)-sin(s)+sin(t))
=f(s,t)
となります。
fs=ft=0から停留点は
(s,t)=(-π/3,π/3), (π/3,-π/3),(π,π)
で
極大値はf(-π/3,π/3)(>0), 極小値はf(π/3,-π/3)(<0)となります。
f(π,π)=0は極値ではありません。
f(π,t)=0, f(s,π)=0
なので
極大値のf(-π/3,π/3)=(14283/4)√3 が求める最大値になります。
このときのx,y,X,Yは
(x,y,X,Y)=(69/2,-(69/2)√3,69/2,(69/2)√3)
となります。

回答No.2

info222_

>1/2 (x*Y-X*y-69*y+69*Y) の　最大値を お願い致します。

この式は
・(1/2) (x*Y-X*y-69*y+69*Y) 　...(1)
・1/{2 (x*Y-X*y-69*y+69*Y) } ...(2)
のどちらですか？

x=69cos(s),y=69sin(s) (-π<s≦π)
X=69cos(t),Y=69sin(t) (-π<t≦π)
とおけば、
2変数関数f(s,t)の最大値を求める問題になります。
fx=fy=0を満たす(s,t)が停留点ですから、停留点のいずれか
f(s,t) (-π<s≦π、-π<t≦π)は極大値をとります。
f(s,t)の極大値のうちの最大値と
f(s,t)(s=π,-π<t≦π)の最大値と
f(s,t)(t=π,-π<s≦π)の最大値
の3つを比較して最大のものが、
f(s,t)(-π<s≦π,-π<t≦π)の最大値となります。

もし、問題が(1)の場合なら
s=-π/3, t=π/3 (x=69/2,y=-69√3/2,X=69/2, Y=69√3 /2のとき
最大値=14283√3 /4
となります。

回答No.1

178-tall

シナリオだけ…。

制約条件を
　x^2+y^2=69^2 → x = r*cosθ, y = r*sinθ　(r = 69)
　X^2+Y^2=69^2 → X = r*cosφ, Y = r*sinφ　(r = 69)
とみなし、
　(1/2)*(x*Y-X*y-69*y+69*Y)
の最大値を探る…。

そこで、
　x*Y-X*y-69*y+69*Y
　= (r^2)*(cosθ*sinφ - sinθ*cosφ - sinθ + sinφ)
　= (r^2)*{ sin(φ-θ) - sinθ + sinφ }
としてみると、たとえば θ=0, φ=π/2 にて最大。

… みたいな調子で如何？