空気の体積変化

質問

少量の水を含んだ空気を氷点下まで冷却することを考えています

20℃　空気：2L/min　に　水蒸気：3000ppm-vol　を含むとします
水分を無視して、-5℃まで冷却した場合
2L×（273-5）/（273+20）≒1.83L/min.　になると思います
※圧力は大気圧で一定として。

これに、2L/min.×3000ppm＝6ml/min.の水蒸気を考慮して
流量を補正して、正確な流量を求めたいのですが
どういった計算になるでしょうか？

回答No.7

kagakusuki · ベストアンサー

回答No.2、4、5です。

>目的は20℃から-5℃まで冷却した際の、水蒸気の体積変化を求めることです

　水蒸気の分圧はその水蒸気が含まれている空気の圧力に体積濃度を乗じた値になるのですから、体積という事であれば、空気の体積に等しいという事になります。
　勿論、質問者様が知りたいと考えておられる事はそういう事ではなく、水蒸気の圧力を大気圧に等しくした場合の体積という事なのでしょうが、100℃を下回る温度における水蒸気圧は1気圧を下回っておりますから、100℃を大幅に下回る-5℃における水蒸気圧は大気圧を大幅に下回り、凝結して氷となってしまいますので、-5℃で尚且つ大気圧下という条件下では「水蒸気の体積」というものは定義出来ません。

　又、質問者様は

>2L×（273-5）/（273+20）≒1.83L/min.　になると思います

と書いておられる事から、質問者様がボイル・シャルルの法則を使って体積変化を計算する事を知っておられるという事は明らかであり、それにもかかわらずボイル・シャルルの法則を使って水蒸気の体積を求めようとはしておられないという事は、

>水分による変動は確かに少ないので、誤差範囲と言ってしまえればいいのですが今回は厳密に水分も考慮した値を必要としています
>水分値の管理がとても重要な要因になる内容ですので。

という理由で、ボイル・シャルルの法則では不十分だとしておられるからではないかという事が推察されす。
　確かに、ボイル・シャルルの法則が厳密に成り立つのは理想気体の場合だけであり、水蒸気や空気のような実在の気体の場合には、ボイル・シャルルの法則は近似式にしかならず、厳密に正確な値を求める事は出来ません。
　しかしそれならば何故、圧力や温度によって変化する体積の値などを求めようとしておられるのか意味が解りません。
　20℃における水蒸気の体積流量が、もしも質問者様の計算通りに6ml/minだったとしましても、大気圧が1020hPaの時の6ml/minと、960hPaの時の6ml/minでは、水蒸気の密度が異なりますから含まれている水分子の個数は6.25%もの差がありますので、体積を基準に考えたのでは水分の量を厳密に考慮している事にはなりません。
　又、実在気体は理想気体とは異なり、圧力や温度に対応する体積の値はボイル・シャルルの法則で求めた値とは僅かに異なった値となりますが、そのずれが生じる原因は、気体分子が「直径が0の数学的な点状の粒子」等ではなく、分子自体にも体積が存在しているという事と、分子同士の間には分子間力という引力や斥力が働いているためという2つの事柄によるものです。
　空気の分子同士の間に働く分子間力の強さや水蒸気中の水分子同士の間に働く分子間力の強さと、空気の分子と空気中に含まれている水分子との間に働く分子間力の強さは異なっていますから、湿った空気と乾燥空気では理想気体からのずれの大きさが異なる事になりますので、「湿った空気中から全ての水分を取り出して水蒸気に変えた場合の水蒸気の体積」と、「水分を失って乾燥空気となった空気の体積」を合計した値は、必ずしも「元の湿った空気の体積」に等しいとは限りません。
　つまり、厳密な計算で水蒸気の体積を求める事が出来たとしても、その水蒸気の体積を元の空気の体積から差し引いた値が、乾燥空気の体積にならない恐れもあるという事です。(計算が面倒なので確認はしておりませんが)
　それなのに何故、厳密さを求めておられながら、水蒸気の体積や、体積濃度を求めようとしておられるのか、意味が解りません。

　それに、最初の20℃における気体の圧力によっても、冷却後の実在気体の体積は僅かに異なって来ますから、もし本当に厳密さを求めるのであれば、大気圧などという変動してしまう圧力の下ではなく、外気の気象条件とは関係なく、使用する空気の圧力が毎回同じ値となる様に気圧が調整されている環境下で湿度や温度の調整をしなければならないと思います。

　後、一応念のために、ボイル・シャルルの法則よりも実在気体の状態変化に適した法則に関しても回答しておきます。
　それはファンデルワールスの状態方程式というもので、こちらも近似式であるとされてはいるため僅かながら誤差はあるものと思われますが、理想気体専用のボイル・シャルルの法則とは異なり、実在気体の圧力・温度・体積の関係を計算によって求めるための公式ですので、これを使って水蒸気の体積を求めれば、ボイル・シャルルの法則よりも高精度で値を求める事が出来るかと思います。
　その方程式は

(P＋(a／V^2))(V－b)＝nRT

というもので、
Pは気体の圧力
Vは気体の体積
Tは気体の絶対温度
nは気体のモル数
Rは気体定数
aとbはどちらもファンデルワールス定数と呼ばれるもので、気体の種類ごとに決まっている定数です。
　水蒸気の場合、a=553×10^-3[Pa・m^6・mol^-2],b=33.0×10^－6[m^3・mol^-1]
　乾燥空気の場合、a=135×10^－3[Pa・m^6・mol^-2],b=36.6×10^－6[m^3・mol^-1]

【参考URL】
　実在気体 - Wikipedia
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E5%9C%A8%E6%B0%97%E4%BD%93

　ファンデルワールスの状態方程式 - Wikipedia
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%8A%B6%E6%85%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

　ＦＮの高校物理 > ファン・デル・ワールスの状態方程式（クラウジウス=クラペイロンの式、ジュール=トムソン効果）
　　http://fnorio.com/0105van_der_Waals'_equation_of_state1/van_der_Waals'_equation_of_state1.htm

　化学工学資料のページ　banner > 理想気体と実在気体
　　http://chemeng.in.coocan.jp/bce/bce_bun7.html

　気体定数 - Wikipedia
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%97%E4%BD%93%E5%AE%9A%E6%95%B0

　尚、ファンデルワールスの状態方程式を使って気体の体積を求めるためには、3次方程式を解かねばなりません。

(P＋(a／V^2))(V－b)＝nRT

を変形しますと、

PV^3＋(nRT－bnP)V^2＋(an^2)V-abn^3＝0

になります。
　一方、下記のURLのページによりますと、

ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0

という3次方程式の場合、その一般解の内、実数解は以下の様になるそうです。

x＝A/(3・2^(1/3)・a)－2^(1/3)・(3ac－b^2)/A－b/(3a)

　　但し
A＝((-27da^2＋9abc－2b^3)^2＋4(3ac－b^2)^3)^(1/2)－27da^2＋9abc－2b^3)^(1/3)

【参考URL】
　高校数学を100倍楽しく > 数2 > 三次方程式の解の公式が長すぎて教科書に書けない！
　　http://enjoymath.pomb.org/?p=12

お礼

詳細な解説ありがとうございます

まずは水蒸気を理想気体として考え、実務に差し障りが出るレベルの誤差が
出るようでしたら、ファンデルワールスの状態方程式を使って
考えていきます

「正確な」という表現がどの程度を指すのか、明示しないまま
質問を投稿した点を反省しております

ご指摘いただいた事項は、実務上の留意点として
作業で生じた事柄を理解する助けとさせていただきます

ありがとうございました

回答No.6

hg3

No1、No3です。
補足を確認しました。
どうも、難しく考えすぎのように感じます

＞20℃で6mlの水蒸気が-5℃になった時の体積
を計算したいとのことですが、
-5℃でも水分は、水蒸気つまり気体のままなので、
6×（273-5）/（273+20）≒5.5ml　
で問題ありませんけど？

質問者さんご自身も
＞露点-8℃のガスを調整しますと、水分が約3000ppm-volになります
＞このガスを-5℃まで冷却しますので、露点以上のため
＞流路への水分の凝固などは生じないものと考えております
と仰っているではありませんか。
つまり露点以上であれば、温度が何℃であっても水分は約3000ppm-vol一定というにしかなりませんよ。

それとも、-5℃の水蒸気の体積を理想気体として計算したのでは精度が不十分ということですか？
だとすれば、ファンデルワールスの状態方程式を使って計算すれば良いのではないでしょうか？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%AF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%8A%B6%E6%85%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

もし、水分が3000ppm-vol一定にならないということを問題としているなら、他の回答にあるとおり、そもそも水分量がいくつなのかが分からないのですから、体積を計算することはできないということになります。

お礼

ご回答ありがとうございます

どうも難しく考えすぎていたようです
空気は温度の低下によって体積が減少するのは分かっていたのですが
水蒸気も同じように体積が減少するのか、同じように計算してよいのか
が分からず、今回のような質問となりました

空気も水蒸気も同じく「気体」なのですから
同様の計算式で良いのですね
勉強になりました

ご教授、ありがとうございました

回答No.5

kagakusuki

回答No.2、4です。

>冷媒に浸漬した長い配管に、空気を流す方法にて

との事ですが、その冷媒の温度は露点の温度である-8℃よりも確実に高い温度となっているのでしょうか？
　もし、-8℃以下となる事もある場合には、何度も申し上げております様に、水蒸気の凝結が起こり、水分量が変動する恐れがあります。
　又、冷媒の温度が-5℃を超えている場合には内部を通る空気の温度を-5℃にまで下げる事は出来ませんし、-5℃を下回っている場合には、配管の内面の面積と空気の流量の関係によってはその配管を通り抜けた後の空気の温度が-5℃を下回ってしまう恐れもあるかと思います。
　それを考えますと、冷媒の温度は-5℃丁度に維持される様になっているのが最も良いという事になりますが、その場合においても、空気の流量に比して配管の長さが十分に長くなければ、空気が-5℃にまで達する前に配管を出てしまう恐れがあるかと思います。
　そこで確認したいのですが、冷媒の温度は、配管が通っている処であればどこの温度であっても、-5℃丁度となる様に温度管理がなされていて、尚且つ、配管の長さは十二分に長いものとなっていると考えれば宜しいのでしょうか？

>今回の内容は、冷却後の空気中の水分管理を厳しくする必要がありまして水分を無視しないで計算し冷却後の空気体積、水分体積から水分値を求めるのが目的です
>水分を無視して計算した値空気体積1.83Lが欲しいのではありません

　つまり、質問者様が知りたい事は

>流量を補正して、正確な流量を求めたい

ではないという事なのでしょうか？
　単に、その空気を-5℃にまで冷却した際の水蒸気の濃度を求めたいという事なのでしょうか？
　それと、質問者様が仰っておられる「水分値」とは、体積濃度の事だと考えて宜しいのでしょうか？
　それともまた別の定義による濃度の事なのでしょうか？

　何を知りたいと考えておられるのか、もっと詳しく御説明願います。

補足

ご回答ありがとうございます

冷媒及び空気温度の温調は、冷媒-8℃、配管出口の空気温度-5℃を保持しております。
（冷媒温度及び配管出口温度の温度を計測しています）

理想は冷媒温度-5℃なのですが、突発的な温度変化によって
冷媒温度が露点温度を下回ったときが怖いので、露点より確実に高い温度になるよう
設定しています。配管長など調整して、配管出口温度を-5℃としています。

この温調の部分は今後の課題と考えておりますので、今回の質問を考えるうえでは
「空気温度-5℃、露点-8℃（水分3000ppm-vol）」と考えていただきたく思います

今回お聞きしたいこと。
水蒸気を考慮して流量を補正し、正確な流量を求められれば
水蒸気の体積濃度を求められると考えております
20℃　空気2L/min.　水蒸気 3000ppm（＝6ml/min.）　
-5℃　空気1.82L/min.　水蒸気？ppm（？ml/min.）
目的は20℃から-5℃まで冷却した際の、水蒸気の体積変化を
求めることです

「水分値」は水蒸気の体積濃度のことと考えております

考え違いがありましたら申し訳ありません

回答No.4

kagakusuki

回答No.2です。

>今回の内容では乾燥空気に、水槽にバブリングして水を含ませた空気を混ぜ合わせることで、空気中の含水量を調整しています

>流路には露点計を設置しています
>上記の方法で、バブリング量を調整し露点-8℃のガスを調整しますと、水分が約3000ppm-volになります
>このガスを-5℃まで冷却しますので、露点以上のため流路への水分の凝固などは生じないものと考えております

　状況が良く解りません。それは御質問文に書かれている

>20℃　空気：2L/min　に　水蒸気：3000ppm-vol

という条件は間違いで、実際には「-8℃で水蒸気：3000ppm-volの空気」を調整し、それを"(20℃等の)-5℃を超える温度にまで加熱する事無く"、ただ単に-8℃から-5℃へと直接温度を上げるだけで、"冷却する事は一切ない"という事なのでしょうか？
　もしそうであるのなら、仰る通り-5℃では

>露点以上のため流路への水分の凝固などは生じない

という事になります。
　しかし、水分の凝固などが全く生じないという事であれば、質問者様御自身が提示しておられる

>水分を無視して、-5℃まで冷却した場合
>2L×（273-5）/（273+20）≒1.83L/min.　になると思います

でも良いという事になりますから、ここで質問をしておられる意味が解りません。

　一方、もし最初は-8℃で水分量を調節した空気を、一旦、20℃にまで加熱してから、再度、-5℃にまで温度を下げるという場合には、

>※圧力は大気圧で一定として。

という条件を満たしたままでは、新たに-5℃よりも低温の別の空気を混ぜて水分量を変えてしまうかのでもない限りは、-5℃を大きく下回る(普通は-８℃よりも更に低い)低温の物体に熱を吸収させる以外に温度を下げる術はありませんから、回答No.2で申し上げた通り低温の物体に水蒸気が凝縮・着氷し、付着する氷の温度が一定とはならないため、冷却後の空気に含まれている水蒸気の割合が変動し、それにより体積流量も変動しますので、正確な流量を求める事は出来ません。

補足

ご回答ありがとうございます

質問の意図がうまく伝えられず申し訳ありません

内容捕捉しますと
はじめに室温（20℃）で
・乾燥空気（露点-40℃）と
・水分を含んだ空気　　を混合して
合計2.0L/min.の水分を含んだ空気を作ります。
この空気は露点-8℃（水分3000ppm-vol）に調整しています

この空気がはじめの質問での「20℃ 空気2L/min.　水分3000ppm-vol」となります

空気温度＝室温＝20℃としまして、
空気温度を20℃から、-5℃まで冷却することを考えています
（冷媒に浸漬した長い配管に、空気を流す方法にて）

今回の内容は、冷却後の空気中の水分管理を厳しくする必要がありまして
水分を無視しないで計算し
冷却後の空気体積、水分体積から水分値を求めるのが目的です
水分を無視して計算した値
空気体積1.83Lが欲しいのではありません

空気は冷却後に約1.83Lになります
冷却前　20℃：2L/min.×3000ppm＝6ml/min.　含まれていた
水分が-5℃に冷却された場合、6mlからいくつになるか
求めたいと考えております

20℃水蒸気の体積（6ml）から重さを求め
水蒸気の-5℃での比体積[m3/kg]を乗じて、-5℃での体積が求められないか
と考えましたが、水蒸気の資料を見つけられませんでした

回答No.3

hg3

No1です。
水蒸気が液化する影響も考えてみした。

20℃での水蒸気の分圧は、
6/2000＝0.003atm
です。
1atm＝101325Paですので、
0.003atm≒304Pa
となります。

一方、-5℃での飽和水蒸気圧は、421Paです。
つまり、-5℃になっても水蒸気は液化せず、全量水蒸気のまま存在することができるということになります。

No1の回答の通り、仮に水蒸気が液化したとしても影響は僅かですから、
流量は、2L×（273-5）/（273+20）≒1.83L/min　と考えて問題ないでしょう。

回答No.2

kagakusuki

下記の参考URLのページ

【参考URL】
　第一科学 > 湿度計・露点計・温湿度発生装置 > 技術情報 > 湿度のあれこれ > 湿度の計算
　　http://www.daiichi-kagaku.co.jp/situdo/notes/note108.html

に掲載されている飽和水蒸気圧を求める計算式を使って、-5℃における相対湿度100%の状態の場合の水蒸気分圧を求めますと、もし、流路中に気温と同じ-5℃氷の結晶が生じていて、その氷と空気中の水蒸気との間で平衡が成り立っているとした場合には、上記の参考URLのページに掲載されている「氷の飽和水蒸気圧（ei）を求める計算式」を使用して、-5℃における相対湿度100%の空気中の水蒸気分圧は401.76Paという計算結果となります。
　一方、もし流路内の空気中に含まれている余剰な水蒸気が、氷結せずに過冷却状態の液滴として存在し続けると考えた場合には、上記の参考URLのページに掲載されている「水の飽和水蒸気圧（ew）を求める計算式」を使用して、-5℃における相対湿度100%の空気中の水蒸気分圧は421.80Paという計算結果となります。
　もし、"流路中に-5℃よりも低温の氷や過冷却水が存在していない場合"には、

>水蒸気：3000ppm-vol

という条件における水蒸気の分圧と、上記の-5℃での相対湿度100%における水蒸気分圧の計算結果との差分に相当する水蒸気が、空気中に存在し切れなくなって凝縮する事になります。
　しかしながら、

>20℃　空気：2L/min　に　水蒸気：3000ppm-vol　を含むとします

という条件では、大気圧が何Paあるのかが不明なため、その中に含まれている水蒸気分圧もまた不明ですので、御質問の条件では

>正確な流量

を求める事が出来ません。

　又、もし大気圧の値が明らかであったとしましても、もっと大きな問題があります。

>空気を氷点下まで冷却する
>-5℃まで冷却

という事は、流路中に冷凍機の蒸発器等の"-5℃よりもずっと低温の物体"を配置しておき、その低温の物体に空気が持っている熱を吸収させる事で、空気を-5℃にまで温度を下げるという事だと思われます。
　そうしますと、その低温の物体の表面には霜等の氷が付着する事になりますが、物体の温度が－5℃よりもずっと低温なのですから、その表面に付着している"氷の温度も-5℃よりも低温"になるという事になります。
　その様な氷の表面から放出される水蒸気の圧力は、「-5℃の氷の表面から放出される水蒸気の圧力」よりも低くなるため、「-5℃における相対湿度100%の空気中の水蒸気」との間では平衡状態が成り立たず、空気中の水蒸気は「-5℃における相対湿度100%」になってからも更に凝縮が進み、湿度は「-5℃における相対湿度100%」よりも更に低くなってしまいます。
　より多くの水蒸気が凝縮して空気中から失われるのですから、体積流量も更に小さくなる事になります。
　湿度が「-5℃における相対湿度100%」をどれだけ下回るのかというその値は、"-5℃よりもずっと低温の物体"の表面に付着した氷の表面温度によって変わって来ますから、氷の表面温度が判らなければ正確な値を求める事が出来ません。
　霜という多孔質の氷の場合、空気が触れる表面は一番外側の部分だけとは限らず、多孔質の霜に多数存在している穴を通って内側の方の氷の表面に空気が触れる事も考えられますので、霜の一番外側の温度を氷の表面温度と見做す事は出来ません。
　もし冷凍機の蒸発器の表面に付着する霜が多孔質ではなかったとしましても、蒸発器の表面温度と氷の厚さ、「空気が持つ熱によって与えられる蒸発器の単位表面積辺りの熱負荷」、等々によって、氷の表面温度は変わって来ます。
　少なくとも氷の厚さは一定ではないのですから、氷の表面温度を計算で求める事は出来ません。
　そのため、冷却後の空気に含まれている水蒸気の割合は一定にはなりません。
　水蒸気の割合が変動する以上、体積流量も変動しますので、

>正確な

という条件では、流量を求める事は出来ません。

補足

ご回答ありがとうございます

後出しの話で申し訳ないのですが、今回の内容では
乾燥空気に、水槽にバブリングして水を含ませた空気を
混ぜ合わせることで、空気中の含水量を調整しています

流路には露点計を設置しています
上記の方法で、バブリング量を調整し
露点-8℃のガスを調整しますと、水分が約3000ppm-volになります
このガスを-5℃まで冷却しますので、露点以上のため
流路への水分の凝固などは生じないものと考えております

ご指摘の中の「過冷却な状態で液滴が存在する」状態だと思われます

回答No.1

hg3

水分を除いた空気の流量は、1.994L/min
これを-5℃まで冷却するのだから、
1.994×(273-5）/（273+20）≒1.82L/min.
です。

つまり、水蒸気が完全に水（液体）となって除かれるとしても、1.83が1.82になる程度の影響しかありません。
例えば、圧力が1%変動すれば、流量も1%変動しますから、1.82が1.80～1.84になるくらいの変動が起きます。そうした変動要因を考えれば、0.01の違いは誤差範囲ですので、水蒸気の流量は無視しても良いと思います。

補足

ご回答ありがとうございます

水分による変動は確かに少ないので、誤差範囲と言ってしまえればいいのですが
今回は厳密に水分も考慮した値を必要としています

水分値の管理がとても重要な要因になる内容ですので。

水を除いた分を20℃から-5℃に冷却すると、ご指摘のように
1.82L（1824ml）になります

これに20℃で6mlの水蒸気が-5℃になった時の体積を足して
水分値を出せばよいと思うのですが、水蒸気の体積の計算方法が分かりません

空気であれば
6×（273-5）/（273+20）≒5.5ml　と求められるのですが・・・。

ご教授のほど、お願いいたします