高さ20mから地平線に接して見える高さ2kmの雲は

質問

高さ20mから地平線に接して見える高さ2kmの雲は何km先か教えてください。

回答No.3

kagakusuki

地球を真球と見做した場合の地球の半径をrとすると、高さhから見た際に、高さHの所にある物体が地平線に接して見える場合の物体までの直線距離Lは、三平方の原理から、

L＝(√((r+h)^2－r^2))＋(√((r+H)^2－r^2))

になります。
　地球は赤道半径が6378.137km、極半径が6356.752kmの回転楕円体に近い形をしているのですが、赤道半径が6378.137km、極半径が6356.752kmの回転楕円体と同じ体積を持つ真球の半径は約6371kmになります。
　御質問の例ではh=0.020[km]、H=20[km]なのですから、距離Lの値は

L＝(√((r+h)^2－r^2))＋(√((r+H)^2－r^2))
＝(√((6371[km]+0.020[km])^2－6371^2))＋(√((6371[km]+20[km])^2－6371[km]^2))
＝(√(254.8404)＋(√(255240))
≒15.96[km]＋505.2[km]
≒521.2[km]

になります。

　但し、この値はあくまで直線距離であり、地図上の距離(地球の丸みに沿って地表で測った距離)で521.2km離れた地点の上空に雲があるという意味ではありません。
　地球を真球と見做した場合の地球の半径をrとすると、高さhから見た際に、高さHの所にある物体が地平線に接して見える場合における、観測者が見ている場所の真下の標高0mの地点から、雲の真下の標高0mの地点までの地図上の距離(地球の丸みに沿って地表で測った距離)をlとしますと、

l＝r×(arccos(r÷(r＋h))+arccos(r÷(r＋H)))
＝6371[km]×(arccos(6371[km]÷(6371[km]＋0.020[km]))+arccos(6371[km]÷(6371[km]＋20[km])))
≒6371[km]×(0.002506[rad.]＋0.07913[rad.])
≒6371[km]×0.08164 [rad.]
≒520.1[km]

になります。

回答No.2

noname#212313

単純化のため、地球が真球だと仮定します（地形変化を含めると、単純計算ができず、地形を詳細に記述した上で計算せねばならない）。式の導出は省きますが、地上高hメートルから見える地平線までの距離dは、

　d[km]=3.6×√h[m]

となります。

> 高さ20mから地平線に接して見える高さ2kmの雲は何km先か

　高さ20mから地平線までは上式に当てはめればいいですが、そこから2km＝2000m先の雲をどう計算するかですね。

　雲はこちらから見て地平線に接しています。もし雲から見れば、こちらも地平線に接しているはずです。

　ということは、雲からの地平線までの距離と、こちらから地平線までの距離を足せばいいということになります。

・こちらから地平線まで：3.6×√20＝16[km]
・雲から地平線まで：3.6×√2000＝160[km]

　ですので雲までの距離は、16+1600＝1616kmですが、有効数字2桁にしていますので、下から二ケタ目を四捨五入して、1600kmです。

　こちらの高さ20mが雲の高さ2km＝2000mに対して非常に低いので（20/2000＝1％）、大雑把に雲の高さからの地平面の距離まででいいのです。

回答No.1

suiton

直接の回答ではありませんが、遠くに積乱雲が見えるときは、気象庁のレーダー画像を見ると位置がわかります。
200ｋｍ近く離れた積乱雲が見えたりします。