文章題

質問

白石と黒石を24個ずつ使って図のように黒石の周りを白石が一列に取り囲むような長方形に並べることが出来ます。
この48個の石に白石と黒石を同数加えて、改めて同じような長方形を作ることができました。その時加えた白石の数を求めなさい。

教えてください。お願いします。

回答No.1

staratras · ベストアンサー

方程式を使った方がわかりやすいと思いますが、「中学受験」とありますので、方程式を使わずに解いてみます。下の図のように、白と黒の石を1個ずつペアにして取り除きます。同じ色を付けたもの同士が対応します。

対応がついたもの全部を取り除くと、白石は４すみに2個ずつ合計8個残ります。(青色の×）
また黒石は中央に（一直線の場合も含めて）長方形の部分が残ります。(黒色の×）

白と黒の石の数は同数なので、1個ずつペアにして取り除いた残りも同数です。つまり、中央に残る長方形の黒石の数は、白石と黒石を同じ数だけ増やした後も常に8個です。

ところで石の数が8個を（一直線の場合も含めて）長方形に並べるには、たて1個、横8個の一直線か、たて2個、横４個の場合しかありません。（たて・横を逆にしたものは図を90度回転させれば同じことです。）

問題の白黒24個ずつの場合はたて2個、横４個でしたので、求めるのは中央に残る黒石がたて1個、横8個の場合です。このとき全部の黒石で作る長方形は、たて、横それぞれ2個ずつ多いので、たて3個、横10個となり、黒石の数は３×10で30個です。白石も同数の30個なので、加えた白石の数は30-24=6 個です。

お礼

ていねいな図まで書いていただき、ありがとうございました。
わかりやすかったです。

回答No.2

noname#215361

試験の際には、限られた時間内に複数の問題を解かなければならず、どこまで求められるかは分かりませんが、考え方の参考にしてください。

黒石を縦にa個、横にb個並べたとし（aとbが逆でもいい）、加えた白石の数をc個とすると、
黒石の数は、a*b=24+c
白石の数は、（a+2）*2+b*2=2（a+b+2）=24+c
→a+b=10+c/2（aとbは自然数だからcは偶数）

・c=2のとき
a*b=24+2=26
a*bとして考えられるのは、1*26、2*13
このうち、a+b=10+2/2=11を満たすものはない
・c=4のとき
a*b=24+4=28
a*bとして考えられるのは、1*28、2*14、4*7
このうち、a+b=10+4/2=12を満たすものはない
・c=6のとき
a*b=24+6=30
a*bとして考えられるのは、1*30、2*15、3*10、5*6
このうち、a+b=10+6/2=13を満たすものは3*10

よって、加えた白石の数は6個
なお、この考え方では、cが8以上の偶数の場合に、条件を満たすaとbが存在しないかどうかは分からない

お礼

参考になりました。ありがとうございました。