力学 力の分解の仕方

質問

垂直な面と、水平からθ傾いた面からできるすき間に、重さmの球（または円筒）を置いたときの力学的な状態を考えています。

図のように力を分解し、球は垂直な面、傾いた面からそれぞれmgtanθ、mg/cosθの力を受けると考えたのですが、これは正しいのでしょうか？

球が面から受ける力が、球自体の重さより大きいことにかなり違和感があり、間違っているのではないかと思い質問しました。
よろしくお願いします。

回答No.6

melon_p2

回答ではなく質問です、すいません。

　No.4、No.5は、ベクトルの分解としては納得できるのですが、斜面の角度θが非常に小さいときには、球が面に与える力、そして球が面から受ける反力が無限大近くにまで大きくなり、角度θがゼロになるとストンとゼロになる不連続が生じます。
　もし、図の球がガラス瓶だったら、θを小さくすると割れてしまいます。

　本当にそんな大きな力が働くのでしょうか。
　間違っているのではないか、という質問者さんと同じ疑問を持ちました。

回答No.5

mmitsukuni

kagakusuki さんの回答が正しく，
他の回答者はもう一度高校に行きなおすべきです．

まず，最初の質問者の図も数値も完全に正しいです．
あんなに斜めに支えるのだから当然球の重力よりも大きい力が必要．

１．力のつり合いは
　　（壁１から受ける力）＋(壁2から受ける力）＝（下向きの重力）
　　　ただし，ベクトルとして計算しなくてはいけません．
　　それで，力が釣り合っているので球は静止している．

２．摩擦のない平面から受ける力は必ず面に垂直方向

　　だから，摩擦のない垂直面では上方向への力は働かない．
　　この場合，もし垂直面だけなら球は真下に落ちるでしょう！！

で，２つ力（ベクトル）を１つの力（ベクトル）として合成したり，
逆に１つの壁面から受ける力を「任意の２方向」の力に分解したりするのは
力（ベクトル）の合成分解の問題で，説明を分かり易くするだけのため．

質問者の最初の図と値はあってますが，力のつり合いという意味では，
添付の実線のように，ベクトルの始点を一致させると分かり易いですかね．

お礼

kagakusuki さんの回答のほうにコメントしましたとおり、
（斜面にかかる力）=mg/cosθ、（垂直面にかかる力）=mg*tanθ
ということで納得できそうです。

回答をいただきましてありがとうございました。

回答No.4

kagakusuki

片方の面が垂直で、もう一方の面が斜めに傾いている場合、斜めの面から受ける反力は必ず球自体の重量よりも大きくなりますし、垂直面から受ける反力も角度θの値がπ/3rad.(=60°)を上回っている場合には球自体の重量よりも大きくなります。
　添付画像の図の赤矢印は「球自体の重量」(=mg)で、緑矢印は「球が斜面に加える垂直応力」(=mg/cosθ)、青矢印は「球が垂直面に加える垂直応力」(=mg・tanθ)です。
　「球が斜面から受ける反力」は「球が斜面に加える垂直応力」(緑矢印)と力の向きは逆で強さは同じ、
「球が垂直面から受ける反力」は「球が垂直面に加える垂直応力」(青矢印)と力の向きは逆で強さは同じ
になります。

　例えば、垂直面が完全には固定されていないとした場合、球がその重量で下に移動すれば、垂直面は左の方向に移動しますが、斜面の方の傾きが非常に大きければ、垂直面の移動距離は、球が移動する距離よりも非常に短くなります。
　摩擦が無いものとした場合には、力の強さは移動距離に反比例しますから、球が垂直面から受ける力が、球自体の重量よりも大きくなる事は十分あり得る訳です。

　また例えば、一端を柱などに固定した紐の途中に球をぶら下げて、もう一端を斜め上に引っ張る事で、柱と球の間の紐が水平になる様に、紐を引っ張る力を調節するという場合を想像して下さい。
　柱に繋がっている方の紐は水平ですので、そちら側の紐が球に及ぼす張力は球を持ち上げる事には全く役に立っていない事になります。
　一方、斜めの方の紐の張力が働く向きは、重力の向きの真逆の方向ではないため、球の重量よりも強い力で引かなければ、柱側の紐を水平に保つ事が出来ません。
　御質問の球の重量と、面から受ける反力の関係もこれと同じで、面から受ける反力が球の重量を上回っても何もおかしくはありません。

お礼

料理用のスケール（はかり）、部屋の壁、調味料のビンをそれぞれ
斜面、垂直面、円筒
として簡単な実験をしてみました。

スケールを傾けるとビンの重さより大きな力が作用し、傾けるほど力は大きくなることがわかりました（かなりアバウトな実験ですが、傾向としては正しいと思います）。
つまり、
（斜面にかかる力）=mg/cosθ、（垂直面にかかる力）=mg*tanθ
ということで良さそうです。

とても細かい回答をいただきましてありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.3

Tann3

ベクトルが正しく分解されていませんね。

　「赤」は、球が斜めの平面を押す力ですから、この力を分解しないといけません。

　まず、「赤」が斜めの斜面を下方向に mg で押す力を、斜面を垂直に押す力 mg*cosθ と、斜面に平行な力 mg*sinθ に分解します。 mg*cosθ に対しては、斜面からの反力でつり合います。 mg*sinθ に対しては、鉛直の平面がなければ斜面を転がり落ちる力になります。

　本来、斜面がなければ、鉛直な平面と球とは力を及ぼしあいません。
　この場合に鉛直な平面に働く力は、球が斜面を右下に転がり落ちようとする力 mg*sinθ です。これは球と斜面の接点を支点とする回転モーメントとして働きますので、ちょっと複雑そうです（逆に、鉛直平面との接点を支点として斜面にも働きますので）。ということで、こちらはパスします。
　そもそも、「赤」の力を最初に分解するときに、「青」の方向は関係しませんので。

　もともとのベクトルの分解は、前半で解決していますので。

補足

詳細にありがとうございます。

考え直したところ、
斜面からの反力はmg*cosθ、垂直面からの反力はmg*sinθ*cosθ/(1+sinθ)
となりました。（図は↓参照）
http://or2.mobi/index.php?mode=image&file=99782.png

お時間ありましたらコメントいただけると幸いです。

回答No.2

aokii

両矢印の先端で平行四辺形を作ってみてください。

補足

両矢印の原点を合わせて平行四辺形をつくるということでしょうか。

青矢印と平行な２本の線、緑矢印と平行な２本の線、計４本の線で、赤矢印と同じ向き・長さの対角線をもつ平行四辺形を作ろうとすると、どうしても図のようになってしまうのですが．．．

もしかして、平行四辺形の対角線が合成ベクトルになるという自分の認識自体が間違っていますか？

回答No.1

aokii

間違っています。球自体の重さより大きいことはありません。ベクトルの合成が球自体の重さになる。

補足

青と緑のベクトルの合成が、赤いベクトルと釣り合うということですよね。
しかし、図の状況ですと、合成後のベクトルは合成前のベクトルよりも短くなってしまい、やはり面から受ける力が球自体の重さより大きくなってしまうように思うのですが、どこがおかしいのでしょうか．．．

何度もすみませんが、お時間ありましたらよろしくお願いします。