円筒と球の釣り合い式について

質問

球（仮に水晶として）を鉄の円筒の端面（穴が開いてる箇所）で上下に力Wで挟み込み、、
球の横から（水平方向）力Fで押した場合、
力Fとその保持する力（鉄と球に発生する摩擦力だけ？）との釣り合い式
を考えていますがわかりません。
球の曲率R・円筒と球の静摩擦係数をμ・
円筒と球が接触する箇所の水平からの角度をθとします。
すると、もし球ではなく平面の場合はF=μWだと思うのですが、
球になると、角度が発生するためθが関係すると思っています。
感覚的にはFが斜め方向に上側と下側それぞれFCOSと分解され、
μWとつりあうかな？とも思いますが、（FCOS=μW）
これだとベクトルがあっていない（μWは水平方向のベクトル）いません。

どなたかこの間違いを正してください。
お願いします。

回答No.9

noname#230359

力Wは　ばね力でしょうか？この場合円筒軸方向と軸直角方向の力が加わりま
す。球が動く場合、円筒が球と相対変位する分の力と軸直角方向の摩擦力が作
用します。後者だけを考えればF=μWが球に作用することになります。
前者を考えるには球と円筒の接触角が影響するので、移動時は刻々と変化しま
す。しかし、動摩擦と静摩擦の差異があるため、初期値の影響が大きいよう
です。一連の挙動を解析する厳密な計算は難しく、実際の使い方に近い状態で
試験した値を利用するのが良いと思います。ボールプランジャーのカタログ値
などが参考になるのではないでしょうか。参考に添付しておきます。

http://takaicorp.co.jp/ballpl.html
http://imao.co.kr/items/pdf/200012216.pdf

回答No.8

noname#230359

回答(４)＆(６)の方、
> 実際は、回答（2）さんが述べておられるように結構難解な問題です。
> 簡単な例では、アキシャル玉軸受のスラスト荷重
> 高校物理レベルだと性能に大きな変化が出ませんが
> 実際は大きな性能劣化になって現れてきます。
の抽象的な記述ですが、もっと具体的な記述をしようよ。

それと、小生は、
最終的には、質問者さんの記述を見てみないと判りませんが、
と、ことわっての記述で、技術的な内容の指摘をしているだけであります。
この場は、回答(４)＆(６)の方の感想を述べる場ではありません。

本来は、
　　　　　　　　　　 │このバーが上に上がる力Ｗ
　　　　　　　　　　 │
　　　　　　　　　　 │ ／￣￣￣￣￣￣
矢印に動く力Ｆ──→◎／
　　　　　　　　　 　／　　　　　　　
　　　　　　　　　　│　　　　　　　　
　　　　　　　　　　└─────────
がより正確な記述で、
円筒と球が接触する角度(接触角)が、上マンガ絵の傾斜角度となります。

以上のような、基本的な類似点が理解できない、抽象的な記述や感想しか記述できない方の
ＨＥＬＰは遠慮願いたいものだね。

　　　　　　　　　　 │このバーが上に上がる力Ｗ
　　　　　　　　　　 │
　　　　　　　　　　 │ ／￣￣￣￣￣￣
矢印に動く力Ｆ──→◎／
　　　　　　　　　 　／　　　　　　　
　　　　　　　　　　│　　　　　　　　
　　　　　　　　　　└─────────

は、力Ｆの進行方向の円弧の接触角が右物体の傾斜角度としています。

回答No.7

noname#230359

把持する物が真球では無いけど実作業で極めて近いと思われる例
レンズ加工における芯取り工程の加工物であるレンズをベルクランクで
固定して外径を研削する工程が当てはまるのではないか
レンズの両球面をリング（パイプ）状の治具で固定して直角方向から
研削砥石が外径を成形する　この時のクランプ力と研削加工推力とのバランス
強くクランプすれば加工物は安定するがレンズに傷が付く　弱ければ固定が
安定せず外径の加工に不安が残る
回答には成らないけれど　何かの参考になれば

回答No.6

noname#230359

＞アキシャル玉軸受のスラスト荷重の算出方法を混同している方の記述があります。

本文も読んでそう言ってるのでしょうか？
うーん、こういう他の回答者に必要もないのに難癖つける人がいると、雰囲気が悪くなるよね。

何とかならんものか？

　　　　　　　　　　 │このバーが上に上がる力Ｗ
　　　　　　　　　　 │
　　　　　　　　　　 │ ／￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　 ◎／
　　　　　　　　　 　／　　　　←── 矢印に動く力Ｆ　　　
　　　　　　　　　　│　　　　　　　　
　　　　　　　　　　└─────────

この図って、質問の想定と合ってる？
全然違う事を書いているような気がするのですが。

回答No.5

noname#230359

再出です。

最終的には、質問者さんの記述を見てみないと判りませんが、
◆ すべり摩擦係数の考え方
◇ ころがり摩擦係数の考え方
と、アキシャル玉軸受のスラスト荷重の算出方法を混同している方の記述があります。
やはり、難しく考えるのは良くないと思います。

円柱の鋼材を寝かして、円が水平方向から見えるようにします。
それを、もっと小さい円柱２本のピッチを大きな円柱の円より、若干小さくして持ち上げる
時に、大きな円柱の重量Ｗと小さい円柱２本が水平に拡がる力Ｆの釣り合い式を構築すること
に似ていると小生は思います。
小さい円柱２本を、小さい角材２本でも同じで、大きな円柱との接触部が
＊ 角材の平面部分　　でも
＊ 角材のコーナー部分　　でも
摩擦係数が異なるだけで、計算手法は同じです。

　　　　　　　　　　 │このバーが上に上がる力Ｗ
　　　　　　　　　　 │
　　　　　　　　　　 │ ／￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　 ◎／
　　　　　　　　　 　／　　　　←── 矢印に動く力Ｆ　　　
　　　　　　　　　　│　　　　　　　　
　　　　　　　　　　└─────────
の計算手法とも同じです。

回答No.4

noname#230359

まず最終的な目的を書かれた方が良いかと

高校物理のレベルの回答なら、平面や球や穴の精度や位置あわせは完全で
力Wと力Fのベクトルは球の中心で交差している。という、暗黙の了解？
があるので１つの球と２つの直角の接触という２次元図形の解法に還元できます。

力WをY方向、力FをX方向に取り、球と角との接触角球中心での力Fからの角θで定義すると
球と角との接触部での力ベクトルは、Y方向の釣り合いの式：　W = F tanθ になり
変形すると　W/tanθ = F ですからθ≒90度の時は、Wのベクトル分力は無視して良くなります。

したがって摩擦係数だけを考えれば良いことになるので、
高校物理レベルだと、F = μW　が解になります。

実際は、回答（2）さんが述べておられるように結構難解な問題です。
簡単な例では、アキシャル玉軸受のスラスト荷重
高校物理レベルだと性能に大きな変化が出ませんが
実際は大きな性能劣化になって現れてきます。

回答No.3

noname#230359

勿体ぶった記述をしている方が居ますが、設計等の従事者ならオーソドックスな力学の
組み合わせでの計算内容で、釣り合い式を構築できます。

さて、それは球の横（水平方向）から力Ｆ[N]で押した場合、球と円筒の穴を介して発生する
分力（上下方向の力Ｗ[N]）を求める式を構築すればよいと考えます。
先ず、球と円筒の穴との接触部を考察ください。
円筒の穴全周が球と接触しているとは限りません。
ですが、球の横（水平方向）から力Ｆ[N]で押した場合、水平方向に動く距離と上下方向に
動く距離は作図等で確認ができると思います。
それが確認できれば、エネルギー(仕事量)保存の法則で、両者が同じ時間で発生するなら、
両者の時間を消去して、
水平の力Ｆ[N]×水平方向に動く距離Ｌ1[mm]＝上下の力Ｗ[N]×上下方向に動く距離Ｌ2[mm]
となり、
上下の力Ｗ[N]＝水平の力Ｆ[N]×水平方向に動く距離Ｌ1[mm]÷上下方向に動く距離Ｌ2[mm]
で求まります。
因みに、円筒の穴と球と接触角θがでてきていないと考えがちですが、
水平方向に動く距離Ｌ1[mm]÷上下方向に動く距離Ｌ2[mm]
の計算式をみれば、tanθであり、直角三角形の隣辺／対辺（隣辺÷対辺）と
なっていることに気が付くでしょう。
(接触角θで考えると、力が増幅するのか、減少するのかが判らなくなる場合があるので、
できれば動く距離での前出確認をした方がベターですよ。)

以上が、摩擦の損失がない場合のエネルギー(仕事量)保存の法則からの算出です。
摩擦損失を入れる場合は、力Ｆ×距離Ｌ1＝力Ｗ×距離Ｌ2＋摩擦損失　で計算します。
これは、通常のねじやボールねじでのトルクと軸の推力を求める内容と類似している、
摩擦係数をactanして摩擦角φを求め、動く距離の比であるtanθに加えるとtan(θ＋φ)となり、
摩擦損失分が少なくなる計算となります。

ＰＣが調子悪くなったので、一度終了させて追記へ再アドバイス追加します。

天秤やシーソー、楔効果、ねじジャッキ、等々は、前述の内容で基本計算ができます。
天秤やシーソー類は、摩擦損失を計算に入れないタイプで、且つ実際に動いた距離の比を
バーの長さ比で代用していますが、力学的には同じ部類です。
楔効果やねじジャッキ類は、摩擦損失を計算に入れるタイプで、その摩擦損失を摩擦係数
⇒ actanして摩擦角 → 動作距離比actanして接触角 ⇒ tan(接触角＋摩擦角)で
摩擦損失を加味したした釣り合い式を構築となります。

“ねじ推力計算”や“台形ねじ推力計算”でネット検索すれば、摩擦損失の計算事例が確認
できます。
例えば、
http://homepage1.nifty.com/ORBIT/lec/lec004.html
のようにです。

以上、判らなくなったら、上述の内容を思いだいてみてください。
基本は、シンプルです。

回答No.2

noname#230359

似たような問題はあって実用的な解法は存在しますが、その適用が困難な問題でしょう。

■軸／穴の圧入問題
円筒の穴にそれより寸法の大きい軸を無理矢理入れて固定する圧入。機械設計ではこの荷重を計算する必要があり、超簡単な自動計算サイトも。

　　材料力学計算フォーム
　　http://www.hajimeteno.ne.jp/engineer/index.html
　　→ 圧入
双方が円筒体なので、球体には適用できない。
（内側の穴径はゼロにできる）

■球体の接触問題
　　・Engineering Web
　　http://engineering-web.com/contact_ja/hertzSphereSphere/
　　・タキタ技研・設計データ集
　　http://www.takitard.com/heltz/heltz.pdf

ヘルツの接触応力と称し、ベアリングなど円筒／球体の接触状態を扱う計算。
球と円筒の組合せはその接触長さを平面に展開し、円筒と平面の接触に置換えることができる。
しかし式は球体と相手が完全な接触をするときの話で、与件は球が穴に入りきらず稜線で止まっている・・これどうするか・・

このように計算式がある問題は、あるていど原理を理解すればあとは自動計算に任せられるが、それから逸れた問題には無力。計算式を自分で構築するか、コンピュータに任せるかになります。

＞勿体ぶった記述をしている方が居ますが

＞難しく考えるのは良くないと思います

行数だけはドンドン増えてるが

思います？？・・・やたら弱気になっちゃったね（笑）

何が起きるのかはやはり実体験が勝つ。具に考えもしない単純計算には思わぬ陥穽が待っている。
　　http://mori.nc-net.or.jp/EokpControl?&tid=231431&event=QE0004

回答No.1

noname#230359

# どんな装置の開発にこの情報が必要なのか、やはり、気になる。
# 実は、何かの試験問題なのかな。
# 最終的に解きたい命題は球が持ち上がらない F と W の関係かしら。

とりあえず、球を円にしてみた簡単なモデルで考えてみたらどうだろう。

円周上の点に W が垂直下向きに印加している、円の中心からみた円周上の点がなしている角度は水平からθ、というモデルにしてみよう。

F を考えずに、円周上の点の接線方向の力 ftと、円周上の点の鉛直方向(円の中心方向)fnを書き出してみてくだされ。
あ、円周上の点の接線と円との摩擦係数をμとしてね。