変数xとyが関係式xy=10^3を満たしながら..

質問

変数xとyが関係式xy=10^3を満たしながらx>=10,y>=10の範囲を動くとき、
log(10)xの動く範囲は ア で、{log(10)x}{log(10)y}の最大値は イ である。

このときのアとイの求め方を教えてください。
( )の中は 底 です。
答えは ア 1<=log(10)x<=2 , イ 9/4 です。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞変数xとyが関係式xy=10^3を満たしながらx>=10,y>=10の範囲を動く

対数をとると、この問題は
変数xとyがlog(10)x + log(10)y = 3を満たしながら
log(10)x ≧ 1, log(10)y ≧ 1の範囲を動く
と同じ意味になる。

X = log(10)x, Y = log(10)yとおく。
X + Y = 3, X ≧ 1, Y ≧ 1 ... (1)

(1)のグラフを書く。X, Yが動くのは添付図の赤い線の部分。
1 ≦ X ≦ 2
∴1 ≦ log(10)x ≦ 2

(1)の条件下でのXYの最大値を求める。
Y = 3 - Xであるから、
XY = X(3 - X)
= -(X^2 - 3X)
= -(X - 3/2)^2 + 9/4
よって、X = 3/2のとき、最大値9/4

回答No.2

spring135

>変数xとyが関係式xy=10^3を満たしながらx>=10,y>=10の範囲を動くとき

10を底とする対数を取ると（底の表記は省略）

logx+logy=3

X=logx,Y=logyとおくと

X+Y=3　　　　（1）

＞「x>=10,y>=10の範囲」をX,Yで示すと

X>=1、Y>=1　　（2）

（2）の条件下において（1）のグラフを書いてわかるように

1<=X<=2 アの答

Z={log(10)x}{log(10)y＝XY

X>0,Y>0なので相加平均と相乗平均の考え方が使えて

3＝X+Y≧2√XY

XY≦9/4 イの答

等号はX=Y=3/2のとき