三角関数の解き方の説明をお願いします。

質問

aを０<a<πを満たす角度とする。0≦Θ≦πの範囲で関数f(Θ)=sin(Θ－a)－sinΘを考える。
(1)
方程式
f(Θ)=0
の解Θはaを用いて
Θ=π／？+a/2
と表される。さらに、この解Θがsin(Θ－a)=1/2を満たすならば
a=(？/？)π
である。

という問題がありました。
解答には　　
f(θ)=0⇔sin(θ-a)-sinθ=0
{θ＋(θ-a)}/２=π/２⇔π/２(１つ目の？の答え)＋a/２　(ここの右にθとθ-aの単位円が書いてあります。

ここで、
sin(θ-a)=sin(π/２＋a/２-a)
　　　　　 =sin(π/２-a/２)
　　　　　 =cos a/２=１/２　(０＜a/２＜π/２)
よって、
a/２=π/３　(a=２π/３)二つ目と３つ目の？

となっていました。
この回答の１つ目の？の前の途中式でなぜ/２という形になっているのでしょう。
それとなぜ-θがプラスに変わるのですか？

２つ目の？と３つ目の？の前の途中式は全く分かりません。

三角関数を学校で習っていません(この先も習いません)ので、初めてでもわかるような詳細な解説をお願いします。

回答No.3

gohtraw · ベストアンサー

単位円の図があるのでしたね。
その図の中で、原点（単位円の中心）から右上方向と左上方向に直線が
伸びていませんか？その直線を動径といいます。図では右上に伸びる
動径が角度Θ－ａ、左上に伸びる動径が角度Θに相当しています。

ここでいう角度とは、ｘ軸の正の方向（図では右方向）と動径の間の角
をいいます。

また、ｙ軸は原点（単位円の中心）から真上に伸びています。従ってｙ軸は
角度でいうと９０°（π／２）に当たります。

三角関数は習っていないとのことですが、この手の問題を理解するには
下記ＵＲＬにあることは知っておく必要があるでしょう。
http://zine.ziehfeder.com/post/51296542475

添付の図には、角度がΘの動径しか書いてありませんが、これに角度
Θ－ａの動径を書き足すと右上がりの線になるはずです。そして
ｓｉｎΘとｓｉｎ（Θ－ａ）が等しくなるようにすると、二つの動径はｙ軸に対して
左右対称の位置にありませんか？

言い換えると、下記の二つの角
（１）角度Θの動径と、ｙ軸の間の角
（２）角度Θ－ａの動径と、ｙ軸の間の角
は等しくなっていませんか？そして、（１）および（２）の角度をｂとおくと、
（あ）ｂの二倍はａに等しくなり、
（い）ΘーｂとΘ－ａ＋ｂは等しくなって、その値は９０°（π／２）
になっていませんか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変詳しいご回答で助かります。
参考になりました。

回答No.2

gohtraw

ｆ（Θ）＝０ということは、
ｓｉｎ（Θ）＝ｓｉｎ（Θ－ａ）　ということです。これを単位円との関係で考えると、
角Θに対応する動径と、角（Θ－ａ）に対応する動径がｙ軸に対して対称の
位置にあるということです。

ということは、２ｂ＝ａとなるような角ｂ（つまりａの半分）を考えると、
Θ－ｂ＝Θ－ａ＋ｂ＝π／２
となりませんか？

ここまでＯＫであれば、
sin(θ-a)=sin(π/２＋a/２-a)
　　　　　　=sin(π/２-a/２)
は単に角の置き換えで書きかえられます。ここから
=cos a/２
に持っていくのは三角関数の公式で
ｓｉｎ（π／２－φ）＝ｃｏｓ（φ）
というのを使います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
角Θに対応する動径と、角（Θ－ａ）に対応する動径がｙ軸に対して対
称の位置にあるということと
２ｂ＝ａとなるような角ｂ（つまりａの半分）を考えるというところがいまいち理解できません。
理解力が足りず申し訳ないのですが、私でも分かるように説明していただけませんか？

回答No.1

sanzero

ちゃんと見てませんが和積の公式からですね
sinA - sinB = 2cos{(A+B)/2}sin{(A-B)/2}

お礼

ご回答ありがとうございます。