標準偏差について

質問

標準偏差とは、
「数列の平均と各値の差を２乗し、それらを平均したものの平方根」
ということがシスアドの教科書に書いてあったのですが、何故こうなるのかわかりません。
何故こうなるのでしょうか？

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> 何故こうなるのでしょうか？
標準偏差の定義です．
したがって，なぜということはありません．

これけじゃ仕方がないので，意味を少し書いておきます．
標準偏差は，データ(など)が平均値からどれくらいばらついているかの
目安です．
同じく平均が 10 でも，
(1)　　9,11,8,10,12
と
(2)　　4,19,1,10,16
を比べたら，(1)の方が明らかにデータが平均値の近くにまとまっています．
こういうことを数量化しようというのが標準偏差です．

では，平均値からの差の平均をとればよいか？
各データを ai，平均値を a と書きますと，
データ数を N 個としまして
平均値からの差の平均は
(3)　　{Σ(ai - a)}/N
ですが，平均値の約束から
(4)　　a = (Σ ai)/N
ですから，(3)はゼロになってしまいます．
そりゃそうで，平均値より大きいデータも小さいデータもあるわけですから，
正負キャンセルしちゃいます．

そこで，２乗すれば必ず正ですから
(5)　　{Σ(ai - a)^2}/N
だったらゼロにはなりません．
２乗したから，例えば a が長さだったら(5)は長さの２乗の量になります．
平方根を取れば長さにもどって，長さのデータのばらつきを表すのに
ふさわしい量になります．

上の(1)(2)のデータで標準偏差を計算してみてください．
(2)の方が大きくなっています．

正にするというなら，２乗でなくて絶対値でも良さそうですね．
でも，絶対値は扱いが面倒ですし，関数としての性質も良くないので，
２乗を使うのです
y = x^2 のグラフはなめらかですが，
y = |x| のグラフは原点で折れ曲がっていて，この点で微分不可能です．
関数としての性質が良くない，とはこういうことだと思ってください．

お礼

なるほど。わかりました。
非常に丁寧にありがとうございます。
私は、記憶するのが苦手で、筋道を立てないと覚えられません。そのため、覚えられず、困っていました。
これで覚えられます。ありがとうございました。