論理回路和積の簡略化

質問

電顕3種の機械の問題がわかりません。平成25年問18です。論理回路の問題ですが、
(X+Y+Z)(X+Y＾NOT+Z)(X＾NOT+Y+Z)が(X+Z)(Y+Z)と導けません。なんでこうなるんですか？2013年10月号の電気計算という本の解説には、ドモルガンの公式より、C=(X+Y+Z)(X+Y＾NOT+Z)(X＾NOT+Y+Z)として、
C＾NOT
=X＾NOT・Y＾NOT・Z＾NOT＋X＾NOT・Y・Z＾NOT＋X・Y＾NOT・Z＾NOT
=(X＾NOT・Y＾NOT・Z＾NOT＋X＾NOT・Y・Z＾NOT)
+(X・Y＾NOT・Z＾NOT+X＾NOT・Y＾NOT・Z＾NOT)
とあります。第4項目+X＾NOT・Y＾NOT・Z＾NOTってなんですか？どこから出るんですか？
等式じゃなくなっちゃうでしょ？抽出すると、A・B=A・B+A＾NOT・Bになってしまいますよ！みなさんやってみてください、答え変わってきてしまいますから。この解説が誤りの可能性があります。それは仕方ないとして、答えなんで(X+Z)(Y+Z)になるんですか？導き方教えてください。完全にはまってしまいました・・

回答No.1

ybnormal · ベストアンサー

X^NOTというのがよくわからないが、Xの排他的論理ではなくて単にXの否定（!X)と仮定して進めます。

まずブール代数の論理和（ここでは２進の加算ではなく論理和の話をしているんでそこ間違えなく）では、
1 + 1 = 1
0 + 0 = 0
だから
Aを任意の変数とすると、A + A = Aという式が成立します。よって、A = A + Aという見方もできる。
ということは、!X!Y!Z = !X!Y!Z + !X!Y!Zという式が成り立ちます。

X＾NOT・Y＾NOT・Z＾NOT＋X＾NOT・Y・Z＾NOT＋X・Y＾NOT・Z＾NOT(面倒なんで!X!Y!Z + !XY!Z + X!Y!Zと書き換えます）は、!X!Y!Zはすでに式の中にあるので、もう一項それを追加してもブール代数上は同じ式になります。
!X!Y!Z + !XY!Z + X!Y!Z　
= !X!Y!Z + !XY!Z + X!Y!Z + !X!Y!Z(これが追加項で４項目はどこから来るのという質問の答え）
= !X!Z(!Y + Y) + !Y!Z(X + !X)
= !X!Z + !Y!Z
= !(X+Z) + !(Y+Z)
= (X+Z)(Y+Z)

というわけで、問題集の中の解答は誤りではありません。

回答No.3

info222_

>第4項目+X＾NOT・Y＾NOT・Z＾NOTってなんですか？どこから出るんですか？

公式：A=A+Aを使って第1項目と同じものを第4項目に加えただけ。
なぜそうするかは簡略化をするため。

>等式じゃなくなっちゃうでしょ？抽出すると、A・B=A・B+A＾NOT・Bになってしまいますよ！みなさんやってみてください、答え変わってきてしまいますから。この解説が誤りの可能性があります。

不勉強に尽きる！質問者さんの例はまったく理解していない的外れな間違った例だよ。
どうしてそんなことになるんだよ！

解説は和積形を積和型にして簡単化して、再度和積形に戻すやり方。
　ブール代数公式：~(AB)= ~A+~B, ~A=~A+~A ⇒ ~(~A'+~B')=AB
　　~(ABC)=~A+~B+~C=(~A+~B)+(~A+~C) ⇒ ~B'+~C'=B'C'
などを使う。

別解として和積形のまま簡単化するやり方もある()こちらの方が簡単です。

　ブール代数公式：A=A・A, 簡単化公式(A+B)(A+~B)=A
　　ABC=(AB)(AC) ⇒ B'C'
などを使う。

　C=(X+Y+Z)(X+~Y+Z)(~X+Y+Z) ←公式(X+Y+Z)=(X+Y+Z)(X+Y+Z)
　=((X+Y+Z)(X+~Y+Z))((X+Y+Z)(~X+Y+Z))　←積の順番を入れ替える
　=(X+Z)(Y+Z)　← 公式：(A+B)(A+~B)=A

回答No.2

ybnormal

おっと、最後のところが間違ってた。

<中略>
= !(X+Z) + !(Y+Z)
= !((X+Z)(Y+Z))

最初に!Cとして否定をとっているので、
!C = !((X+Z)(Y+Z))

両辺の否定を取り去れば、
C = (X+Z)(Y+Z)