ニュートンリング

質問

こんばんわ。独学で勉強してるのですが、どうしても分からないんで教えてください。
凸レンズと凹レンズを重ね、上から600nmの光を当てたときの５番目の暗環の半径はいくらでしょうか？？二つの曲率半径は３ｍ及び４ｍです。

回答No.1

Teleskope · ベストアンサー

>>こんばんわ。独学で勉強してるのですが
曲率半径R1の凸レンズと同R2の凹レンズを重ね
R1<R2
上から波長λの光を当てた
ときのニュートンリングの暗環の半径は？ <<

こんばんわ。独学ということなので；

１．
準備；
光(電磁波)は反射すると波の位相が180度ひっくり返ります。
数学で円の方程式を習ったときと同じｘｙ座標を使います。
レンズを重ねると一点で接するから、その点を通る断面を考え、その断面を横から見て、ｘｙ座標の原点を接触点に合わせます。

２．
円の式は、中心が原点なら
　　x^2+y^2=R^2
です。
中心がｙの上方向にａずれた円なら、
　　x^2+(y-a)^2=R^2
です。
で、重ねたレンズの中心は原点からR1とR2上にずれてるのだから、
凸　　x^2+(y-R1)^2=R1^2
凹　　x^2+(y-R2)^2=R2^2
となります。

３．
凸の式だけ書きますが、まずカッコを開いて
　　x^2+y^2-2yR1+R1^2=R1^2
　　x^2+y^2-2yR1=0
　　x^2=2yR1-y^2=2yR1(1-y/2R1)
ここで、
干渉縞は隙間が非常に小さい所で見えるので ｙ<<R1 です。するとカッコ内はほぼ１になって、
　　x^2≒2yR1
と近似できます。見やすいように書くと
　　y≒(1/2R1)・x^2
であり、放物線の式です。おなじくもう一方のレンズも、
凹　　y≒(1/2R2)・x^2
となります。
レンズ間の隙間はｙの差ですから、隙間をdとすれば
　　d=(1/2)・(1/R1-1/R2)・x^2
です。R1<R2だから隙間がプラスになるように引きました。

４．
光はこの隙間を往復するので、
　　2d=光の波長λ
のとき、
上のレンズ表面から出て、下のレンズ表面で反射し、上のレンズ表面に帰ってきた光は、(反射で位相が180度反転するので)元の光と打ち消し合います、つまり暗く見えます。
これは距離が波長の整数倍でも同じ事が起きるので、整数をmとして
　　2d=mλ
dの式を入れると
　　(1/R1-1/R2)x^2=mλ
ゆえに
　　x^2=mλ/(1/R1-1/R2)
　　x=√(mλ/(1/R1-1/R2))
と求まりました。

５．
まず、mがほとんどゼロならxもゼロ → 中心は暗い
あとはm=1,2,3‥のところが暗い。
視線を断面からレンズ正面に変えると、暗いxの所は同心円に見えますね。

６．
余談；
普通のニュートンリング鑑賞器は上が凸レンズで下は平面ガラスです。平面の曲率半径は無限大なので、４項の最後の式のR2に代入すると、
　　x=√(mλ/(1/R1))
　　　=√(mλR1)
と、よくある式になります。
以上。

お礼

非常に丁寧な回答ありがとうございます！
一から説明してくれてとっても分かりやすかったです。