モンティ・ホール問題は本当に数学者も間違えた？

質問

最近友人にモンティ・ホール問題を出題されました。
しばらく悩みましたが正解することができました。
問題自体が難しかったというよりは問題の設定を理解するのに時間がかかった、という感じです。私以外の友人もしばらくなやみつつもだいたい正解していました。
我々は理系ではありますが、みな数学の専門ではなく、私含め数学が苦手なものも多かったので数学者なら即座に答えるんだろうな、と思っていたらモンティ・ホール問題は正解が証明されるまで大変な議論が発生したとネットに載っていて驚きました。
これは本当でしょうか。

答えの証明は非常に単純な確率の問題で中学生でも理解できそうなくらいに思うのですが。
因数分解も微分積分も虚数もベクトルも、我々を学生時代に散々悩ませた困難な数学的要素は何もありません。
袋の中に青いボールと赤いボールがある個数ずつ入ってます。ランダムにボールを1個取りだしたら青いボールである確率は何分の1ですか、という問題を多少捻った程度ではないかと感じてしまいました。
それとも我々が本質を理解できていないだけで本当はすごく難しいのに単純だと誤解しているだけなのか。
あるいは数学的な話とは別に何か議論を産むような要因があったのか、または議論が発生したというのは誇張であって実際は大した話でもなんでもないのか。
詳しくご存じの方がいらっしゃれば教えていただければと思います。

なお我々は、変更しないを選べば景品を当てる確率は最初に景品を選ぶ確率である3分の1。変更するを選べば最初に景品を選んでいた場合は外れるが、最初に外れていれば司会者によって外れの1つを潰されるので確実に景品を当てられる。よって変更すれば景品が当たる確率は3分の2、と理解しています。
ネットの解説サイトを見た限りでは我々の理解で正しいように思うのですけども。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>その場合は選び直しをしてもしなくても確率は同じかな。

はい。

ただ、この場合のモンティが外れた時の状況を説明できる人は案外少ないですよ。

お礼

モンティの外れた状況の説明ですか。
うーん、私は深く考えていませんでしたね。
単純に、変更しなければモンティの当たる外すに関係なく当たる確率は3分の1。
変更する場合の当たる確率は、自分が最初の選択で外れて（3分の2）、かつモンティが外れた場合（2分の1）なので両者をかけて3分の1。
よってどちらでも当たる確率は同じ、と考えました。
これで正しいでしょうか。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ルールをちょっと変えるとおもしろいと思うよ。

モンティは何もしらず、景品をゲットしてしまうことが
ありえるとしましょう。
プレイヤーとモンティがえらんで、モンティがはずれだったら
プレイヤーは選び直しをすべきでしょうか?

状況同じに見えますか、かなり違います。

お礼

ありがとうございます。

その場合は選び直しをしてもしなくても確率は同じかな。

回答No.2

stomachman

数学者だって、にんげんだもの。

似たようなのをひとつ。

アパートに3つの部屋があって、ひとつの部屋には男2人、別のひとつの部屋には男女1人ずつ、残りひとつの部屋には女2人が入っているが、どの部屋がどれなのかは分からない。さて、あるひとつの部屋のドアをノックしてみたら、「はーい。ねー、あなた出てよ」という女の声がドア越しに聞こえた。女が出て来る確率は幾らか。

簡単すぎるかなー。

お礼

ありがとうございます。
初見で間違えることはありえると思いますが数学者たちの議論が発生するほどのことかなと思いました。

問題の答えはゼロですかね。
「あなた」が夫に対する呼びかけであり女相手には使わない、なおかつ呼びかけられた相手がそれを拒否しないという前提で考えてますけども。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

私は結構悩みましたよ。問題を書いておくと。

3個のドアがある。開くと景品をゲットできるのはは1個。

1) プレイヤーがドアを1こ選ぶ(まだ開かない)。
2) モンティ(どれに景品かあるか知っている人)が 1) で選ばれた以外の「はずれ」のドアを
　　選ぶ(開いて見せる)
3) モンティはプレイヤーに対して「最後に残ったドアに選びなおしてもよいですよ」と告げる。

プレイヤーがドアを選びなおさない場合、当たる確率はいくらか？
プレイヤーがドアを選びなおした場合、当たる確率はいくらか？

答えは 1/3, 2/3

つまり選びなおした方が当たる確率が2倍になる。

間違い安い点は

1) モンティが景品のありか知っていてあえてはずれを選ぶ　ということを見落としがち。

2) モンティがドアを開けた時点で、まだ開かれていないドアははずれ１、景品１で、しかも
どちらを選んでもよいといわれているのに、 選びなおすとあたる確率が 2/3 というのは
　 直感に反する。

ということなんでしょう。

専門家ほど直感をよく使うので、中には勇み足する人もいるかもしれません。

お礼

ありがとうございます。

＞1) モンティが景品のありか知っていてあえてはずれを選ぶ　ということを見落としがち。

なるほど。私もモンティが残った扉から外れを選ぶという設定がとっさに分からずにモンティは何もせず回答者が選び直すという意味かと誤解してしまいました。
選択後にモンティが外れを開けて見せるという状況は非日常的というかいまいち想像し辛い状況ですね。普通の3択クイズとかならなかなかないことですし。

＞2) モンティがドアを開けた時点で、まだ開かれていないドアははずれ１、景品１で、しかも
＞どちらを選んでもよいといわれているのに、 選びなおすとあたる確率が 2/3 というのは
＞　 直感に反する。

＞ということなんでしょう。

心理学か何かで人間は前提条件が重なると最後の条件が強く印象に残るとか聞いた覚えがあります。
そういうことなのでしょうか。

＞専門家ほど直感をよく使うので、中には勇み足する人もいるかもしれません。

数学でもそうなんですかね。数学なんかは感覚ではなく論理で考えるというイメージがありますが、そうでもないのかな。
数学の授業では教師から、論理的に考えろ、とよく言われていましたが。授業だからかもしれないですね。