モンティホール問題について

質問

モンティホール問題について
司会者が扉を開いたのちにもう一度扉を選びなおすと
当たる確率が2/3になる説明はよく見かけますが
何故1/2にならないのか説明しているものはみかけません
どうして1/2にならないのでしょうか？また、この1/2という確率は何を表しているのでしょうか？
宜しくお願いします

回答No.6

shingo5k

Ｎ０５です
追加します（結論は変わりません）

実はこの問題が解かり難い原因は、規定が曖昧である事です。
曖昧な点は、「モンティが必ず外れのドアを開く」事がルールであり、
「そのルールをプレーヤーに周知していた」否かです。

日本語 wikipedia の「ルール」の項ではそれがルールであり、その
ルールをプレーヤーに周知していた事になっています。（2013.July.29）

ところがこの問題を最初に指摘した　Steve Selvinの
「Letters to the Editor」(1975)の規定では周知されていない事に
なっています。（"Audience: applase"からそう判断できる）

つまり、一言で「モンティホール問題」と言ってもその規定は一様で
はありません。まずは、質問者の規定する「モンティホール問題」が
何を指すのかを厳密に定義する必要があります。
それによって確率が変るからです。

もし質問者のモンティホール問題の規定が、日本語 wikipedia の
「ルール」の項の規定に従うなら、選択を変更すべきです。
そうではなくて「Letters to the Editor」の規定に従うなら、
変更してもしなくても賞品を獲得する確率は変わりません。

回答No.5

shingo5k

まずモンティホール問題とは何かを定義する必要があります。
もはやＴＶ番組が実際にどうだったかの話ではありません。
まず「モンティホール問題」自体をきちんと定義することが必要です。

例えばwikipedea 日本語版（2013-Jun-28）では次のように規定しています。

１．　「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の
　　　新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。

２、　プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。

３、　プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアの内
　　　ヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

４、　ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられてい
　　　ないドアに変更しても良いと言われる。

５　　プレイヤーはドアを変更すべきだろうか？」

これがこのゲームのルールの全てだと定義します。
これだけの文章からは、モンティが必ず外れのドアを開くということがプレ
ーヤーに周知されていたとの解釈には無理があります。

プレーヤーの身になって考えると、確かに今回は外れのドアを開いたが、
モンティが正解のドアを開いて「残念でした」と言う可能性が排除出来ません。
またモンティが２つとも外れの場合に限りドアを開き、どちらかに正解がある
場合はドアを開かない事が起きる可能性も否定できません。

したがって、この文章からは、プレーヤはモンティの行動ルールは知らないが、
モンティが開いたドアが外れだと知ったと言う事だけです。

この場合は最初の選択のままでも、変更しても当てる確率は 1/2 です。
これは多数回行うとその回数の 1/2 倍に近い回数で賞品を当てると
いう意味です。

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もちろん、モンティが必ず外れのドアを開くということがプレーヤーに周知されて
いたと（無理に）解釈すれば、扉を変更すると　2/3　に　なります。

回答No.4

rakichabo

１．　1/2という確率は何を表しているのか

「司会者がはずれの扉を1つ開ければ残りは2つ。ゆえに参加者が
選んだ扉の当たり確率は1/2と推定される」

という事を表しているのだと思います。しかし実際にはそれほど
単純ではありません。

２．　なぜ当たり確率が1/2にならないのか

3つの扉をA,B,Cとし、参加者がAを選び司会者がCを開けた場合を
検討します。Aの当たり確率が1/2と推定する理由は

「Aの当たり確率＝Bの当たり確率」・・・(1)

と考えているからですが、(1)が成立するのは

「Aが当たりの時Cを開ける確率＝Bが当たりの時Cを開ける確率」・・・(2)

が成立する時です。言い換えればその扉が当たりの時に
Cを開ける確率が等しくなければ、実際にCが開けられた時の
当たり確率も等しくないという事です。

さて参加者が選んだ扉が当たりの時司会者は2つのはずれの扉の
一方を無作為に選んで開けると考えられるので、

「Aが当たりの時Cを開ける確率は1/2」・・・(3)

となります。一方Bが当たりならば司会者はCを開けるしかないので

「Bが当たりの時Cを開ける確率は1」・・・(4)

となります。(3)と(4)により(2)は成立せず、(1)も不成立です。
ゆえにAの当たり確率は1/2ではありません。

３．　当たり確率が1/2になる事はあるのか

(2)を成立させる手段その1として、(3)を
「Aが当たりの時Cを開ける確率は1」に変えてみます。

しかしそうすると司会者がBを開けた場合は必ずCが当たりですから
Aの当たり確率は0になってしまいます。

(2)を成立させる手段その2として、(4)を
「Bが当たりの時Cを開ける確率は1/2」に変えてみます。

しかしそうするとBが当たりの時司会者は1/2の確率でC以外すなわち
AかBを開ける事になりゲームが成立しません。

もしもゲームを途中でキャンセルしてやり直す事が認められるならば

「参加者がはずれの扉を選んだ時は1/2の確率でもうひとつの
はずれの扉を開け、1/2の確率でゲームをキャンセルしてやり直す」

というルールを追加する事により

「司会者がはずれの扉を1つ開けた後参加者が選んだ扉が当たりの
確率は1/2」

となります。蛇足ですがモンティホール問題のオリジナルはTV番組
なので、キャンセルした部分をカットした録画を放送すれば視聴者は
不自然さを感じる事なく「当たり確率が1/2」のゲームを見る事が
できるでしょう。

以上

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

モンティホールでは挑戦者が常に扉を変更する場合、

1) 挑戦者が最初にあたりをひく⇒最後にはずれをひく
2) 挑戦者が最初にはずれをひく⇒最後にあたりをひく

となります。

つまり、モンティホールの手順ははずれをあたりに、あたりをはずれに
変換する手順を提供しているだけなのです。

なので、挑戦者が最初にはずれを引けば勝ちが確定します。

とびらが3枚であたりが一本なら、最初にはずれる確率は 2/3
だから 勝率は 2/3 です。

回答No.2

MagicianKuma

司会者が当たりの場所を知っていて、外れの場所を開いて見せてくれた場合、選び直すと当たる確率が2/3になる。
司会者が当たりの場所を知らずに、開けて見せてくれたのがたまたま外れだった場合、選び直しても当たる確率は1/2。
ということです。

回答No.1

alice_44

2/3 になるから、1/2 ではない
…で、説明になってる気がするのだけれど。