反比例の形をしたグラフの求め方？

質問

数学の問題で、一般式は次のように書いてあります。

Y = (a+x) / ( b + cx )

答えは、
a=-2
b=1
c=1/2 です。

「漸近線」と「切片」を利用して、このようになるのである、という説明しか載っていないので困っています。

これは、どういう手順で解いたらよいのでしょうか？

回答No.2

sunflower-san · ベストアンサー

与えられた情報：
(1) y = (a+x) / (b + cx ) の形のグラフである。
(2) グラフは ( 2, 0 ), ( 0, -2 ) を通る。
(3) x→∞ のとき y→2 となる。(" ( ∞, 2 ) を通る")

未知数は a, b, c の3つで、グラフが通る3点が与えられているので、a, b, c が決まります。

(2) より、
a +2 = 0, a/b = -2
よって、a = -2, b= 1

y = (a+x) / ( b + cx ) = (a/x +1) / ( b/x + c )
なので、 x→∞ として、2 = 1/c
つまり c = 1/2
と求まります。

お礼

とてもスッキリと分かりやすいご回答をありがとうございました。

とてもよくわかりましたm(_ _)m

回答No.3

spring135

>「漸近線」と「切片」を利用して

a,b,cを求めるだけなら何とでもなりますが、もっと図形の基本に立ち返って

「漸近線」と「切片」という言葉も使って考えてみるほうが将来の役に立ちます。

このような双曲線の一般形は

(x-p)(y-q)=r　　　(1)

又はこれを変形して

y=q+r/(x-p)　　　(1)’

書けます。

問題の

Y = (a+x) / ( b + cx )

は

y=(1/c)[(x+a)/(x+b/c)]=(1/c)[1+(a-b/c)/(x+b/c)]

と変形できてさらに

y-1/c=(a-b/c)/(x+b/c)

(x+b/c)(y-1/c)=a-b/c (2)

となるので(1)と比較して

p=-b/c, q=1/c, r=a-b/c (3)

とすると(1)に帰着します。

従って(1)について一般的に議論すれば直ちに(2)について応用できます。

(1)の

x=pは奈落の底、天上の極みに通じます。このx=pはy→±∞とした時の漸近線といいます。

一方x→±∞とするとy→qとなるのがわかりますか。このy=qという直線は(1)のもう一つの漸近線です。

つまり双曲線(1)は2本の漸近線を持っています。

グラフから

P=-2=-b/c

q=2=1/c

これらから

c=1/2

b=1

です。

「切片」とは曲線が座標軸を切る点を言います。

y座標を切る点はx=0,y=-2です。

Y = (a+x) / ( b + cx )

に代入して

-2=a/b

よって

a=-2

お礼

細かいところまで、とてもよくわかりました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

akinomyoga

(1) Y = (a+x) / ( b + cx ) の式から、漸近線と切片の式を求める
(2) グラフから漸近線と切片の値を読み取る
(3) (1 で求めた式) = (読み取った値) で a,b,c に関する連立方程式を作る→求める

では駄目なのですか。

(1)
y = (a+x)/(b + cx)
漸近線1: x→±∞ で y = 1/c
漸近線2: y→±∞ ⇔ b+cx → ±0 だから x = -b/c
切片: x = 0 の時 y = a/b

(2) グラフから読み取る
漸近線1: y = 2
漸近線2: x = -2
切片: y = -2

(3) 連立方程式
1/c = 2
-b/c = -2
a/b = -2

お礼

とてもすっきりして分かりやすいご回答を、どうもありがとうございました。

LIMを使うという発想すら　わかなかったので、大変勉強になりました！