帰納法の問題

質問

問題　：　５以上の自然数nに対して、2^n > n^2 が成り立つことを証明しなさい。

よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｎ＝５のとき　２＾５＞５＾２が成り立つ。

ｎ＝ｋのとき　２＾ｋ＞ｋ＾２が成り立つとする。

ｎ＝ｋ＋１のとき　左辺は　２＾（ｋ＋１）＝２＊２＾ｋ
右辺は（ｋ＋１）＾２＝ｋ＾２＋２ｋ＋１
よって
２＊２＾ｋ＞ｋ＾２＋２ｋ＋１
が成り立つかどうかを調べればよい。左辺ー右辺は
ｋ＾２－２ｋ－１＝（ｋ－１）＾２－２
ｋは５以上なのでこの式は常に正となる。

以上、ｎ＝ｋのとき　２＾ｋ＞ｋ＾２が成り立つとすると
２＾（ｋ＋１）＞（ｋ＋１）＾２　が成り立つことが示された。

以上より、５以上の自然数ｎについて２＾ｎ＞ｎ＾２が成り立つ。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

panasoniki

帰納法は機械的に証明できるので、本当に成り立つのかが納得がいかないことがよくあります。

nをn+1に増やしたときにどうなるか？

例えば2^nは１つ増やせば二倍になるなー、
n^2を(n+1)^2にしてもそんなに倍率はあがらないなー、
みたいなことを考えると
2^n > n^2 が成り立つのがあたり前のような気がしてくるものです。

その後で、帰納法を使ってちゃんとして解答を書くと、
帰納法の心がより深く理解できるでしょう
。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

gohtraw

ん？何書いてるんだ私。

ｎ＝ｋのとき　２＾ｋ＞ｋ＾２が成り立つとする。　・・・（１）
ｎ＝ｋ＋１のとき　左辺は　２＾（ｋ＋１）＝２＊２＾ｋ
右辺は（ｋ＋１）＾２＝ｋ＾２＋２ｋ＋１
よって
２＊２＾ｋ＞ｋ＾２＋２ｋ＋１　・・・（２）
が成り立つかどうかを調べればよい。（１）の仮定より
２＾ｋ＞ｋ＾２　なので、この左辺と（２）の左辺を比較すると
２＊２＾ｋ／（２＾ｋ）＝２なので、右辺同士の比較において
（ｋ＾２＋２ｋ＋１）／ｋ＾２＜２　つまり
ｋ＾２＋２ｋ＋１＜２ｋ＾２
であることが示せればよい。右辺ー左辺は

ｋ＾２－２ｋ－１＝（ｋ－１）＾２－２
ｋは５以上なのでこの式は常に正となる。

以上、ｎ＝ｋのとき　２＾ｋ＞ｋ＾２が成り立つとすると
２＾（ｋ＋１）＞（ｋ＋１）＾２　が成り立つことが示された。

以上より、５以上の自然数ｎについて２＾ｎ＞ｎ＾２が成り立つ。

お礼

ありがとうございました。