円の見え方

質問

美術の指導書に書いてあることなのですが
目の前に円柱を置いた時　その上部の円の見え方なのですが
目線の位置（目と同じ高さ）では線分
そこから下に下げていくと楕円になり
下げるほど円に近ずく

と説明されています

正確に言うと円柱の上部の円は手前が近く
向こう側が遠いので　向こう側が小さくなり
楕円にはならないと思うのですが

目の高さまで１ｍ　１ｍ離して直径１０ｃｍの円柱を立てた時
円柱の高さが１ｍ、５０ｃｍ、０ｃｍ(地面に描いた円と同じ）として
それぞれの上部の円の見え方を数式で示すことは可能でしょうか？

回答No.4

noname#215361

ANo.2とANo.3の回答者です。
度々失礼します。
プロ棋士が二歩を打つようなミスをしてしまいました。
円柱の下部の円は目線の位置より低くは下がらないので、無限の考え方は必要ありませんでした。
しかし、その範囲だけだと、円に近づくという実感はあまりないかもしれませんね。

お礼

了解いたしました

回答No.3

noname#215361

ANo.2の補足・訂正です。
問題にある「下に下げていくと楕円になり下げるほど円に近づく」は、無限に下に下げると円に近づくというよりも点に見えてしまうので、発想を転換させて自分のように考えると、円柱が水平になったときに完全な円に見えることが分かると思います。
数式を考える場合には、どんなに離れても直径10cmは変わらないので、これと考えあわせても自分の考え方は分かりやすいかと思います。
なお、数式で直径と半径を勘違いしましたので、0.1→0.05になります。
よって、次のように訂正します。
bを求める上での考え方は、二つの直角三角形の相似です。

円の方程式はx^2＋y^2＝0.05^2

楕円の方程式はx^2/0.05^2+y^2/b^2=1

(2)円柱の高さが50cmのとき
(1+0.05)：(1-0.5)=1.05：0.5=0.05：b→b=1/42
楕円の方程式はx^2/(1/20)^2+y^2/(1/42)^2=1

(3)円柱の高さが0cmのとき
(1+0.05)：(1-0)=1.05：1=0.05：b→b=1/21
楕円の方程式はx^2/(1/20)^2+y^2/(1/21)^2=1

お礼

近似的にはそうなるのかも知れません
ただ　目の前に真っ直ぐなハリガネを人と
平行に置いた時
目線の高さなら線分に見えるけど
目線より下がると左端と右端が上り
中央がへこんだ曲線になりませんか？
楕円だとすると長軸が曲線？なる疑問が生じるのですが

回答No.2

noname#215361

美術と数学を組み合わせた面白そうな問題なので、回答することにしました。
先ず円を見るといっても、それは円の中心を見るということと考えます。
下に下げるとの表現がありますが、それは上部の円の中心を固定したまま円柱を次第に水平になるように傾けるということです。
その際、左右へのずれをなくすためには、目線を通り地面と垂直になる面を考え、円柱の上下の円の中心を結んだ線分が、この平面上にあるようにしなければなりません。
こうすると、常に左右対称が保たれます。
しかしご指摘の通りで、同じ幅の道であっても近くは広く見え、遠くは狭く見えるここと同様に、厳密には楕円に見えないはずです。
数式を考える場合には、あくまでも目を単なる点としてとらえ、楕円の方程式を考えます。
因みに、完全な円の場合にその中心を点O(0,0)とすると、円の方程式はx^2＋y^2＝0.1^2なので、
楕円の方程式はx^2/0.1^2+y^2/b^2=1と表わせ、このbを求めることにします。

(1)円柱の高さが1mのとき
線分として見えるのでy=0

(2)円柱の高さが50cmのとき
(1+0.1)：(1-0.5)=1.1：0.5=0.1：b→b=0.05/1.1
楕円の方程式はx^2/0.1^2+y^2/(0.05/1.1)^2=1

(3)円柱の高さが0cmのとき
(1+0.1)：(1-0)=1.1：1=0.1：b→b=0.1/1.1
楕円の方程式はx^2/0.1^2+y^2/(0.1/1.1)^2=1

お礼

回答ありがとうございます
半径が半分とのことなので別のところであらためて
コメントいたします

回答No.1

maccha_neko

そうですねぇ。ただ、そうした遠近法の効果が出てくるほど巨大な円筒を描くわけではないので、殆ど誤差の範囲になってしまうということですね。

＞それぞれの上部の円の見え方を数式で示すことは可能でしょうか？
遠近法を使うなら、奥行きをどの位にとるのかっていうことが大事になるでしょうけどね。
円周上の座標が
x=r・cosθ y=ｒ・sinθ
として、このx,yについてどのあたりに写像されるのかを考えれば良いんじゃないでしょうか？

お礼

回答有り難うございます
写像の概念ですか
少し考えてみます