相対性理論「時間の遅れはおたがいさま」「同時」理屈

質問

■(１)「時間の遅れはおたがいさま」※画像添付してあります
以下のテレビ番組（youtube内）の「時間の遅れはおたがいさま」の理屈が分かりません。
https://www.youtube.com/watch?v=fWSkK9VwEY8
1:10秒頃から再生

概要
光速に近い速度で移動してる宇宙船の中から静止している小惑星にある時計を観測した場合、
遅れて見える。
逆に静止している小惑星から移動してる宇宙船の中の時計をみると遅れて見える。

↑これが分からない理由は、　宇宙船が小惑星におりた場合、
宇宙船側は　「君の時計が遅れている」　と言い
小惑星側も　「いや君の時計の時計が遅れている」
という矛盾にならないか？という事です。
でも実際は宇宙船の方が遅れるようなので、それはなぜでしょうか？

■(２)「同時とはなにか」
同じくこちらも分からないので解説をお願いします。（URLが違います）
https://www.youtube.com/watch?v=nf6hGRLj_XA
2：47秒ごろ再生

概要
宇宙船の真ん中に光源をおき、左右にまとがあり、光に反応して旗をだす仕組みになっています。
宇宙船が動いてる場合、小惑星からみると別々に旗があがるように見え、宇宙船の中からだと
同時にあがってるように見える。

↑この場合、絶対的な視点からみるとどちらの事実が正しいのですか？
たとえば、同時に旗があがると爆発するような仕組みであれば、宇宙船は爆発するのですか、それともしないのでしょうか。ご教授ください。
※（同時かどうか判定する仕組みは割愛して下さい）

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

AN03です。タイポ発見。

>tanα=v/c

tanhα=v/c

で、よく考えてほしいのは、相手の時計を
覗き込むような観測は実際にはできないこと。

つまり、あのビデオのように、光で相手の
時計を観測すると、光速は有限なので相手の
今の時刻より遅れた時刻が見えるはず。

これは相手の位置が分かっていれば補正できますが、
そうした補正をした上でもなお、相手の時計は
遅れてゆくように観測されます。

番組は素人向けでこうした厳密さが無視されているので
注意して下さい。そのまま受取ってしまうと厳密な
理解ができなくなってしまいます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞番組は素人向けでこうした厳密さが無視されているので
注意して下さい。そのまま受取ってしまうと厳密な
理解ができなくなってしまいます。

はい、（１）については　イメージ図が横移動だったので、
”とりあえず移動していれば遅く見える”と勘違いしてしまったのです。
”距離が離れていく場合に見かけが遅くみえる”　のが正しいのですね。

（２）
について、小惑星側は同時に旗があがっていないのに爆発したように見える？
どいいう絵図にみえるのでしょうか。

回答No.7

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

他回答者への横槍になりますが、ローレンツ変換が理解できる素養があればこのような質問はしないと思うんですが。。。

いろんな回答が出てますが、一言で言うと
「人間には確認しようがない事象であるので、実験して確認する以外方法はない。」

でも相対的であるため確認不可能。

あくまで実験結果を説明しうる理論体系にした結果、確認できないことが残された。
ということです。

＞■(２)「同時とはなにか」
これも現実的に確認不可能。

機械の力を借りるとして、シャッタースピードをTとするとカメラで速度vで飛んでいる被写体を撮影すると
Δx＝vTのブレを生じます。
つまり、これは的のブレになります。
宇宙船内の光源から出た光が前後の的に照射される際、光源から各的までの距離をL、光速度をcとすると
進行方向にはL/(c-v)
逆方向にはL/(c+v)
の時間かかります。

時間差にするとt=2cL/(c^2-v^2)です。
この時、先に進行方向とは逆方向に進む光が的に到着した瞬間、進行方向の光が的に到着するまでΔX=ctだけの距離が残されています。

すると、少くともΔx<ΔXでなければ確認不可能です。
すなわち、
vT<2cL/(c^2-v^2)
T<2cL/[v(c^2-v^2)]
T<2L/[c^2(v/c)(1-(v/c)^2)]

L=1万kmとしてもvが光速のわずか1000分の1でもプランク時間以下のシャッタースピードでなければなりません。(カメラがどんなに細かい部分をも拡大できると仮定しても)

プランク時間
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E6%99%82%E9%96%93

そのような低速度では相対性理論の確認ができるはずもありません。
逆に速度を早くするとシャッタースピードをさらに速くしないといけません。
いずれにせよ浮世離れしています。

仮に質問文の装置を作ったとしても、上記事項が確認できない以上、理論の検証にはならないのです。

全ては実験で解決しないから様々な思考実験が行われているだけであって、どれが正しいかは実験結果が説明することです。人間が説明するものではありません。

＞■(１)「時間の遅れはおたがいさま」※画像添付してあります
http://www.infonia.ne.jp/~l-cosmos/relativity/twins/TwinParadox.html
ここに色々双子のパラドックスのことが書かれています。
詳しくは勉強して理解してください。

お礼

回答ありがとうございます。

（１）
URL内の　折れ線時空図法　の項が凄くよく分かりました。
ひとまずスッキリした感じです。

（２）
＞仮に質問文の装置を作ったとしても、上記事項が確認できない以上、理論の検証にはならないのです。

全ては実験で解決しないから様々な思考実験が行われているだけであって、どれが正しいかは実験結果が説明することです。人間が説明するものではありません。

理論上だとどういう結果になるのでしょうか？
小惑星側から見た絵面がどうしてもイメージがわかないのです。

回答No.6

chiha2525

（１）
見比べる為には戻ってこなくてはいけませんが、戻るには加速が必要になります。どちらがどのように加速するかで変わってきますが、簡単に言うなら加速すると時間が遅れます。ロケットが加速して反転したならロケットの時間が遅れ、小惑星が加速して反転したなら小惑星の時間が遅れます。

反転せずに、第三者がロケットおよび小惑星の時計を見比べることを考えてみると、ロケットと小惑星が同じ速さで（反対側に）飛び去っている観測者からは、どちらの時計も同時刻に見えます。ロケットの方が遅い観測者には小惑星の時計が遅れ、小惑星の方が遅い観測者にはロケットの方の時計が遅れて観測されます。

これが（２）の同時と同じこと（観測者によって同時だったり同時でなくなったり）ですが、第三の観測者がロケットまたは小惑星と同じ速度（つまりロケットまたは小惑星と同じ慣性系）だと（１）の回答になります。

お礼

（１）
＞ロケットが加速して反転したならロケットの時間が遅れ、

ここがよく分かりません。亜光速で移動してるロケットが加速しても速度が変わらないので、
時間の流れは変わらないのではないでしょうか。

また、ロケットの方が小惑星の周りを延々と回り続け、「１年分くらい小惑星の時計が遅れてみえるZE！」
状態にして、小惑星に不時着した場合、宇宙船の時計の方が遅れている？のでしょうか。
それとも、時間が見かけで遅れてみえるのは、観測者から対象が離れていってる場合のみに
成り立つのであって、亜高速で移動しているからといって、周りをぐるぐるまわっているだけでは
見かけも（小惑星の）実際の時間の流れ（小惑星が速い）とかわりがないという理解でよろしいでしょうか。

回答No.5

endlessriver

■(１)「時間の遅れはおたがいさま」

・相対性原理から、どの座標系から見てもローレンツ変換の形式は同じになるように
　したからです。

　つまり、S系のt'=γ(t-vx/c^2)とS'系のt=γ(t'+vx'/c^2) におけるガンマが同じ
　になるように導出しているからです。

・あるいは光速度不変の原理からも導かれます。

・全く矛盾はありません。書籍にはパラドックスと呼ばれる問題があるので、
　計算すると矛盾なく説明できることが分かります。

・ただ、問題となるのは、２つの系が同一慣性系に会合した時ですが
　必ず、いずれかの系に加速度がかかっています。したがって、この問題の解決には

　一般相対性理論が使われています。特殊相対性理論は慣性系でのみ成立つので矛盾
　はないのです。

■(２)「同時とはなにか」

・述べられている言明は正しいです。

・「↑この場合、絶対的な視点からみるとどちらの事実が正しいのですか？」
　この質問は、相対性理論と全く相いれません。絶対的な視点がないという

　視点から相対論が作られています。どこかの慣性系を視点にするしかない
　のです。

・ローレンツ変換から簡単に、ある慣性系の同一地点の同時は他の慣性系から
　見ても同時だが、異なる座標の同時は、他の慣性系から見ると同時ではない

　ことが分かります。

・とても違和感のある結論ですが、これを使って物理現象を説明すると何の
　矛盾もないことがわかっています。

・たとえば、宇宙船の両端で同時に信号を出し、中点でその信号を同時に受信
　したとき、爆発するとします。

・宇宙船で同時に出した信号は、静止系では同時には出ていません。宇宙船の
　後ろの信号が早く出るように見えます。だから、宇宙船が移動しても、中点に

　同時に到着するように静止系でも見えるのです。すなわち、静止系から見ても
　爆発という現象は変わりません。

・つまり、上のことは、信号を発するという時刻は、離れた場所なので、
　静止系では同時ではなく、信号を同時に受信する場所は同一座標なので、

　静止系から見ても同時になるのです。

●参考
　相対性理論は常識が全く通用せず、確認することもできません。だから、
　いろんな例題（パラドックス）を計算して慣れるしかないのです。

　ありていに言えば、あれこれ考えても無駄なのです。

　問題集としては「MIT物理 特殊相対性理論、A.P. フレンチ、培風館」がおすすめ
　です。

お礼

回答ありがとうございます。

（２）
＞・たとえば、宇宙船の両端で同時に信号を出し、中点でその信号を同時に受信
　したとき、爆発するとします。

・宇宙船で同時に出した信号は、静止系では同時には出ていません。宇宙船の
　後ろの信号が早く出るように見えます。だから、宇宙船が移動しても、中点に

　同時に到着するように静止系でも見えるのです。すなわち、静止系から見ても
　爆発という現象は変わりません。

なるほど、その仕組みだと絵的に想像しやすいです。
では、私の質問にある真ん中から光がでる場合はどういう絵面になるのでしょうか。

回答No.4

rabbit_cat

（１）
その疑問は「双子のパラドックス」と言います。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AD%90%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

「お互いに相手の時間が遅れている」と「思っている」だけなら矛盾は生じません。
もし、宇宙船と小惑星の中にいる人が、未来永劫、出会わないのであれば、「お互いに相手の時間が遅れている」と思いつづけていても、（実際に２人は出会わないわけですから）矛盾は生じません。
実際に、矛盾が生じるのは、「お互いに相手の時間が遅れていると思っている２人が出会った」時です。
宇宙船と小惑星は、何もしなければどんどん離れていってしまいますから、２人が出会うには、どこかのタイミングで宇宙船は方向転換しなければなりません。方向転換するにはエンジンで加速しないといけないんで、その間、宇宙船は、慣性系ではなくなくなるんで、特殊相対性理論が適用できなくなってしまいます。一般相対性理論なら、この場合にも適用できて、それで計算すると、宇宙船の時間が遅れることが分かります。

（２）
「同時」という概念自体が、観測者を定めないと決められない、と言っているわけで、
「同時に旗があがると爆発する」ような仕組みでは、どのような条件で爆発するのかが特定されていません。例えるなら、目の前に３つ以上の旗がある状況で、「その２つの旗が同時に上がったら爆発する」と言われたら、「え？、どの旗とどの旗ですか？？」と聞き返すでしょう。
単に「同時に」とだけ言うのはこれと全く同じです。「誰にとって同時に」というのが特定されていないと、条件として成立していないわけです。

もし「同時に」というのが、「小惑星からみて同時に旗があがると爆発する」ということであれば、宇宙船の中にいる人にとっては、「旗は同時にあがらない場合に、爆発する」ことになります。
ただし、宇宙船の中にいる人からしても、「（宇宙船から見れば同時ではないけど）、小惑星から見れば同時に旗が上がったから爆発した」というのは納得できるわけで、まさに爆発の条件そのままに爆発したのであって、全く矛盾は生じません。
むしろ、「小惑星からみて同時に旗があがると爆発する」はずだったのが、「宇宙船からみて同時に旗があがったら爆発した」らおかしいです。

お礼

回答ありがとうございます。

（１）
お互いに離れる方向に進んでいる場合はどちらも遅れて見えて、近づいている場合は
お互いに速く見える。　その２人が出会う頃には、もともと原子レベル？の動きが速い小惑星側が
速く時間が進んでいる、という理解で大丈夫でしょうか？

（２）
「同じ慣性系から見て全ての物理法則は同じである」でしたっけ？　であるならば同時に旗があがった
宇宙船が爆発する。であってますよね、頭が混乱してたせいか質問が意味不明でした、すみません。
小惑星側からは見かけがそう見えるだけであって、実際は旗が同時にあがっているので
後ろ側から先に爆発に包まれるように見えるのでしょうかね。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

言葉で説明して納得された方をここで見たことがないので、数式使ってみます。

静止系(小惑星)からロケットが速度vで飛行しているとすると
静止系の時空(t, x)とロケットの時空(t', x')の関係は

ローレンツ変換を

t = coshα・t' + sinhα・x'/c
x = sinhα・t'・c + coshα・x'

　tanα=v/c (v: ロケットと小惑星の相対速度), c: 光速

とすると、事象(t, x)と(t', x')が単純な一次変換で1対1関係になることがわかると思います。

この時 x' を固定し、t' の変化に対する t の変化を求めると

Δt = coshα・Δt'

xを固定してt' の変化に対する t の変化を求めると

Δt' = coshα・Δt

となります。これが双方から相手が遅れて見えることの正体です。

単純な一次変換ですので、よく味わってこれが何を表しているか
吟味してみてください。時空図を描くことをお勧めします。

最初に説明しましたように、事象が1:1になることはローレンツ変換が
一次変換であることから明らかですので、矛盾は発生しません。

お礼

回答ありがとうございます。

cos　sin　すらうろ覚えです。
よって、分かりません…。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

（２）について

同時かどうか判定する仕組みにも相対性理論が適用されます
だからおそらくどの観測者から見ても爆発するでしょう

お礼

回答ありがとうございます。

まだよく分からないです。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

うーん、ダウト

例えば光速に近い速度でお互い逆方向に進む惑星を考えてみると、相対速度は光速の2倍に近い速度で遠ざかることになるが、実際には相対性理論の相対速度は光速を超えることはない計算結果になる。

仮にこの2つ惑星の中間に静止惑星があった場合、この惑星の時間を基準にとって考えると、最初の2つの惑星の時間は同様に遅れる。

では中間の惑星から時間が遅れた2つの惑星間ではどうなるか？
中間にある惑星を基準にすると2つの惑星の時間の進みは同じになるけど、2つの惑星間で考えると異なる。

う～ん、不思議ですね～。

お礼

回答ありがとうございます。