次の問題を教えてください！！（数列）

質問

次の問題を教えてください！明日テストでかなり急いでいます！！１時間考えたけどわかりません…

問：1990年1月1日に100万円を年利率5％で借りた人がいる。この返済は1995年12月31日を第１回とし、その後、毎年末に等額ずつ支払い、2004年末に完済することにする。毎年末に支払う金額を求めよ。ただし、１年ごとの複利で、1.05^10=1.629, 1.05^15=2.079として計算し、百円未満は切り上げよ。

僕が考えたのは、
等額の返済額をx円とすると、
1991年1月1日から1995年の1月1日までは年利率5％で増え続けるので、
1995年1月1日の時点では、100万・(1.05)^5
1995年12月31日から年度末に返済するので、
1995年12月31日は、100万・(1.05)^5-xとなり、
1996年1月1日は、1.05{100万・(1.05)^5-x}
=100万・(1.05)^6-1.05xとなり、
1996年12月31日は、{100万・(1.05)^6-1.05x}-x
1997年12月31日には、1.05[100万・(1.05)^6-1.05x-x]-x
=100万・(1.05)^7-{(1.05)^2+1.05x+x}
・・・・
という風に、規則性を見つけていき、1991年からn年後にはどうなるかを考え、
100万・(1.05)^n-[20x{(1.05)^n-5}-1]
2004年に完済なのだから、
0=100万・(1.05)^14-[20x{(1.05)^9}-1]
両辺に1.05をかけて
0=100万・(1.05)^15-[20x{(1.05)^10}-1.05]
として計算したら答えと違うかったんですが、どこがまずいのでしょうか？因みに答えは165300円です。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。ちょっと補足にきました。
さっきの回答で、「なんで数列なのに、会計学が関係あるんだ？」と
思われたかも知れないので・・

回答で、Ｘ÷（1.05）＾6からＸ÷（1.05）＾15までを
順番に足していくときに、等比数列の和の公式を使っていますね。
このやりかたさえ、覚えておいたらいいです。

私も、学生のときは割引計算なんて理解していませんでした。
等比数列の和を使うんだな、ということを丸暗記していました（笑）
この問題は、応用中の応用だと思うので、やりかただけでも
覚えておいたら入試などでは有利かと思います。

覚えることがたくさんあって、大変ですが、がんばってください！！

回答No.2

fushigichan

おはようございます。
この問題は、大変難しいですよね。
一般に金利の計算をするときは、将来の貨幣金額を、現在の貨幣金額に
直して計算します。（これを会計学で割引計算という）

さて、分かりやすく考えていきましょう。
１９９５年から、95、96、97、98、99、00、01、02、03、04年と、毎年
均等額を返済しますが、この金額をＸとしましょう。
全部で１０回Ｘ円支払うことになります。

さて、ここでまず第一回目の支払日1995年12月31日におけるＸ円とは、
一体1990年１月１日におけるいくらに相当するのか？を考えます。
毎年0.05％ずつ金利の上昇があるので、
Ｘ÷1.05÷1.05÷1.05÷1.05÷1.05÷1.05÷1.05つまり
Ｘ÷（1.05）＾6円が1995年12月末に支払うＸ円の現在の価値です。

同様に1996年12月31日も支払うＸ円の割引現在価値（というのですが）は
Ｘ÷（1.05）＾7円となります。

Ｘ÷（1.05）＾6・・・・・1995年12月31日に支払う分の現在の価値
Ｘ÷（1.05）＾7・・・・・1996年12月31日に支払う分の現在の価値
Ｘ÷（1.05）＾8・・・・・1997年　（以下同様）　　　
Ｘ÷（1.05）＾9・・・・・1998年
Ｘ÷（1.05）＾10・・・・・1999年
Ｘ÷（1.05）＾11・・・・・2000年
Ｘ÷（1.05）＾12・・・・・2001年
Ｘ÷（1.05）＾13・・・・・2002年
Ｘ÷（1.05）＾14・・・・・2003年
Ｘ÷（1.05）＾15・・・・・2004年12月31日に支払う分の現在の価値

となります。
上の全部の合計が1,000,000円になります。

よって
X{1/(1.05)^6+1/(1.05)^7+1/(1.05)^8+1/(1.05)^9+1/(1.05)^10
+1/(1.05)^11+1/(1.05)^12+1/(1.05)^13+1/(1.05)^14+1/(1.05)^15}
=1000000
変形して
X=1000000×(1.05)^15{1+1.05+・・・+(1.05)^9}
=1000000×2.079÷{1-(1.05)^10}×{1-(1.05)}
=1000000×2.079÷0.629×0.05
=165259
となり、100円以下は切り捨てるということなので、
X=165300

毎年165300円ずつ支払っていくこととなります。
大変ややこしいですが、がんばってください！！

回答No.1

oshiete_goo

これは等比数列の練習問題としての複利の計算なので, あくまでも数学の学習問題として考えます. 実際の社会でどう運用されているかは問わないとします（実際筆者はよく知りません）．

[解]
１）解釈の確認ですが，ある年の１月１日の元金A円はその年の12月31日の時点でもう５％の利息がつくと考えます．（そうでないと難しくなり過ぎます．）

２）ある年に返済した金額は元本および利息から差し引くのではなく(実際にはそうなのですが)，計算の簡単化のため次のように考えます．
すなわち，返済した時点から2004年に満額そろうまで，同じ金利５％で複利運用し，返済すべき金額が2004年の年末にそろった時点で一斉にまとめて返済を行うと見なします．
これでいい理由は，例えば10万円返して元利が減ってその後その分の利子がつかない場合と，返さずに同じ利率の複利で積み立てた場合，10万円のｋ年後は借りた分も積み立てた分もどちらも同じ利率で増えるので，あとで返しても差はなく，結局最後にまとめて返すと思っても変わらないからです．落ち着いて考えてみてください．

これらの解釈に基づいて計算していくと十分解けます．

最初の元金ａ＝10^6（円），利率５％より，ｒ＝1.05　として，
2004年の年末までに満１５年複利で増えつづけると　ar^15(円)・・・（１）

一方，返済するための積立金は，１年当たりｂ円として，1995年の年末から2004年末まで，計10回，ただし最後は利息がつかないことに注意すると
積立金の元利合計（2004年末）は,　最後の年の分から逆に足して
b(1+r+r^2+・・・+r^9)=b(r^10－1)/(r-1)・・・（２）

(1),(２)を等しいと置いて
ar^15＝b(r^10－1)/(r-1)
b=ar^15*(r-1)/(r^10－1)=10^6*2.079*(1.05-1)/(1.629-1)=165262.3・・・
よって百円未満は切り上げて　165300円