積雪の計算

質問

いま温泉地帯に雪が降っていると仮定します。たとえば、地表面の温度が40℃、積雪が毎時30cm、気温3℃とします。最初の積雪はゼロとして、積雪はだんだん深くなるでしょうか、雪が解ける温度と積雪がバランスする（積雪が深くならない）のは雪が降り始めてから何時間後でしょうか。
これを解くためどのような数学モデルを立てればよいか教えてください。
実は、これは、実用上解決したい問題を雪の話に置き換えたもので、お遊びではありません。

回答No.3

noname#195146 · ベストアンサー

#2 teppou様のご回答を拝読して、そういう基本的なことも少しは説明しておくべきだったと思い直しました。

　最も簡単な数学モデルを考えてみましょう。なおこれは、ニュートン算と呼ばれるタイプの計算になります。

「現在積雪がa[cm]あるとする。降雪は毎分b[cm]だとする。地面での雪の溶融は毎分c[cm]だとする。雪が融け切るのは何分後か？」

　雪が融け切るためには、ある条件が必要になります。それは積雪が減る速さはc－bであり、それが正でなければ積雪は減りません。c－b＞0、よってb＜cということです。

　b＜cなら、aがどれほどあろうが、時間さえ充分経過すれば積雪量（高さ）は０になり、その後は全く雪は積もりません。逆に、b＞cなら、時間と共に積雪量（高さ）は増える一方です。b＝cなら積雪量（高さ）は変化しません。

　そういう境界条件的なものが存在します。

　このことは、スーパーのレジでよく見かけます。客の多いときに、複数のレジのどれにも長蛇の列ができることがあります。そのとき、たった一つレジを増やすだけで、長蛇の列はどんどん短くなり、やがてレジの待ち時間は０になり、客待ちのレジすら出て来ます。

　地面や外気の熱伝導で雪がどうなるか以前に、そういう数学モデルが基本として存在します。

お礼

教えていただいたニュートン算とニュートンの加熱法則を利用して先が見えてきました。早速のご回答ありがとうございました。

回答No.2

teppou

時間経過による条件の変化がないものとすれば、雪は全く積もらないか積もり続けるかのどちらかになると考えられます。

　地面から雪にどのように熱が伝達されるかがよくわかりませんが、雪は地表面の温度が最も高く後から降った雪のほうが低くなりますので、ある深さでバランスすることは考えられません。

回答No.1

noname#195146

熱力学（熱伝導方程式）でほいっと出るようなものではありません。以下のようなごく簡単な解析例でも実測との兼ね合いを見ています。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/structcivil/54A/0/54A_0_114/_pdf

　上記などを参考にやってみるくらいでしょうか。研究として成立するくらいなので、容易ではないでしょうけれど。

　積雪を見積もりたい場所の過去データが膨大にあれば、データを統計的に解析して、予測する数学モデルをコンピュータプログラムとして構築する方法も有効かもしれません（今よく言われるビッグ―データの一種）。