にゃんこ先生といいます。第三の置換積分

質問

にゃんこ先生といいます。

∫f(x)dxの置換積分には、
「x=g(t)とおく」という第一のパターンと、「t=g(x)とおく」という第二のパターンがあります。

では、「g(x)=h(t)とおく」という第三のパターンの具体例がありましたら教えていただきたく思います。

なお、∫√(x+1)dxにおいて、x+1=t^2とおくときのように、x=t^2-1として第一のパターンや、t=√(x+1)として第二のパターンに帰着できるものは除きます。

回答No.1

stomachman

関数のクラスを特定しないまま置換積分を分類することに意味があるのかどうか、よく分からんのですが、
第三のパターンってのは、
　　u = g(x)
とおいて、
　　f(x) dx = (f(x)/g'(x)) du
と置換すると（第二のパターン)
　　b(u) = f(x)/g'(x)
がuのソコソコ簡単な式になって、さらに
　　u = h(t)
とおいて
　　b(u) du = b(h(t)) h'(t) dt
と置換すると（第一のパターン)
　　c(t) = b(h(t)) h'(t)
がtのカナリ簡単な式c(t)になる、という話でしょう。
　この逆の順に、c, h, g を適当に与えてみれば、例が作れるんじゃないでしょうかね。