この問題の解き方お願いします

質問

問題に数学で円と直線関連、物理で放物線関連の問題が出るのですが解き方がまったく分かりません。
解き方やこの公式を覚えておきなさいというのがあればお願いします
数学

円と直線の距離や接線の計算

中心(2,1) 半径５の円と 直線A y= 1/2x+5√5 の距離。

直線Aを接するまで平行移動。その直線の式。

直線B y=1/2x+1 の(6,4)では無い方の円との接点での接線の式。

物理

親子がキャッチボールをちゃんとできるよう、初速度などを計算。

親子間は4m, 親は2mの高さで投げ、子は1mの高さで投げる。

キャッチできるのは親は2m、子は1mの高さのみ。

投げる角度は45°固定。sin45°=cos45°= 1/√2は提示されている。

子のボールの初速度は 5√2 m/s

重力加速度は10m/s^2

空気抵抗などの減衰は考慮しない。

この条件で、

１．子がキャッチするための親のボールの初速度。

２．子が投げたとき、親の位置での高さは？

３．親がキャッチできるよう、子がジャンプして、その頂点で投げるとしたとき、

ジャンプの初速度は？

お願いします。

回答No.5

noel_lapin

子がキャッチするための親のボールの初速度

親のボールの水平方向の速度を v とすると

１）親の投げる角度が45度なので、親での垂直方向の速度は、上向きを＋として　+v
２）子に届くまでの時間は水平距離4[m]をvで割って t = 4/v
３）空気抵抗が無いので、子に届いたときの水平方向の速度は v のまま変化なし
４）子での垂直方向の速度は、下向きなので -w

終速度＝初速度 + 加速度x時間なので、上向きを+として
-w = +v - gt
-w = +v - g( 4/v )

５）位置エネルギ = 質量M * g * 高さ
運動エネルギー = (1/2) * M * 速度^2 = (1/2) * M * ( 水平速度^2 + 垂直速度^2 )
なので、エネルギー保存則より

g*2[m] + (1/2)( v^2 + v^2 ) = g*1[m] + (1/2)( v^2 + (-w)^2 )
v^2 = 16g/10 = 16

したがって親での初速度 (√2)v = 4√2 [m/s] となります。

回答No.4

noel_lapin

G=100の誤りでした。info222_さんの答えが正解です。

回答No.3

info222_

[数学の問題]
>円と直線の距離や接線の計算

>中心C(2,1) 半径５の円と 直線A y= (1/2)x+5√5 の距離。

円の中心C(2,1)と直線A：「(1/2)x-y+5√5=0」の距離dは、点と直線の距離の公式より
　d=|(1/2)*2-1+5√5|/√{(1/2)^2+(-1)^2}=5√5/((√5)/2)=10
円と直線の距離=d-(円の半径)=10-5=5 ...(答)

>直線Aを接するまで平行移動。その直線の式。

平行移動後の直線の式を「y=(1/2)x+a」すなわち「(1/2)x-y+a=0」とおくと
この直線は円の接線であることから、円の中心C(2,1)と直線の距離d1は円の半径5に等しいから
点と直線の距離の公式より
　d1=|(1/2)*2-1*1+a|/√{(1/2)^2+(-1)^2}=2|a|/√5=5
|a|=5(√5)/2 ∴a=±5(√5)/2
よって、求める直線（接線）の式は
　「y=(1/2)x+5(√5)/2」 ,と 「y=(1/2)x-5(√5)/2」
の２本あります。

>直線B y=(1/2)x+1 の(6,4)では無い方の円との接点での接線の式。
直線B y=(1/2)x+1 と円との２つの交点Q,RのうちQ(6,4)では無い方の交点Rを接点とする円の接線の式。
であれば
交点Rの座標は連立方程式
　円：(x-2)^2+(y-1)^2=25
　直線B：y=(1/2)x+1
を解いて　Q(6,4), R(-14/5, -2/5)

円上の点R(-14/5, -2/5)における接線は、
円の接線公式から
　(-14/5-2)(x-2)+(-2/5-1)(y-1)=25
整理すると
　24(x-2)+7(y-1)+125=0
　24x+7y+70=0
または
　y=-(24/7)x-10

回答No.2

noel_lapin

>とすると L の最大もしくは最小値は　x = F のとき　L = √G です。
とすると L の最大もしくは最小値は　x = F のとき　L = ±√G です。

E > 0 なら 最小値、E < 0 なら最大値です。
今の場合 E = 5/4 > 0 なので L = ＋√90 が距離 L の最小値です。

定規でおおざっぱな絵を描くとわかりやすいです。

回答No.1

noel_lapin

中心(2,1) 半径５の円と 直線A y= 1/2x+5√5 の距離について

中心 ( A, B ) 半径 R と 直線 y = Cx + D とすると
円の中心 ( A, B ) と直線の距離 L は

L^2 = ( A - x )^2 + ( B - y )^2
= ( A - x )^2 + ( B - Cx - D )^2
= ( 1 + C^2 )x^2 + ( -2A -2BC + 2CD )x + ( A^2 + B^2 - 2BD + D^2 )　．．．（式１）

ここで

L^2 = E( x - F )^2 + G　．．．（式２）

とすると L の最大もしくは最小値は　x = F のとき　L = √G です。

（式１）と（式２）が等しいとすると

E = 5/4
F = 2( 1 - √5 )
G = 90

と求まります。円の中心と直線の距離√90 から円の半径を引いて
√90 - 5 = 約 ４．５ が円と直線の距離です。