整数の問題

質問

３より大きい２つの素数a,b（a＜b）に対し、b^2-a^2は２４の倍数であることを示せ。

という問題です。

自分は次のようにときましたが、回答より短くすでしまい、本当に正しいのか判断できません。

「mod6においてa,bは素数、つまり２と３の倍数でないのでa≡±１、b≡±１より、b^2-a^2≡０よってb^2-a^2は６の倍数

mod４において同様にa≡±１、b≡±１より、b^2-a^2≡０よってb^2-a^2は４の倍数

従って、b^2-a^2は４の倍数であり、６の倍数でもあるから２４の倍数である」

回答No.5

staratras · ベストアンサー

No.2です。
この問題の本質はすべての「素数を平方した数」は24で割った余りが1であることでしょう。
以下のようにすれば、一度で24の倍数であると示せると考えます。

3より大きい素数Nを12で割ったあまりは、12の約数である2や3の倍数ではないから、
1,5,7,11に限られ、N=12m±1　またはN=12m±5　とおける　
(mは負でない整数で、m=0のとき復号は+5のみ）

N^2=24(6m^2±m)+1　または　N^2=24(6m^2±5m+1)+1 なので、
常に　N^2≡1　(mod 24) である。

よって3より大きい2つの素数a,b（a<b）に対し、b^2-a^2は24の倍数である。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます！

回答No.7

Tacosan

ちょっと面倒ですが 6m±1 からも同じ結論を導けますね＞#5.

回答No.6

staratras

No.5です。以下訂正します。失礼しました。

誤：すべての「素数を平方した数」は24で割った余りが1
正：すべての「3より大きい(=5以上の)素数を平方した数」は24で割った余りが1

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

ちょっと面倒だけど mod 3, 8 で解けますね。

回答No.3

noname#199771

#1ですが#2のいうとおりです。
失礼しました。

回答No.2

staratras

36や60は「4の倍数であり、6の倍数でもあります」が、「24の倍数ではない」です。

整数Nが整数aの倍数であり、かつ整数bの倍数であるからといって、整数ab(2数の積)の倍数であるとは限りません。
（aとbが互いに素である場合に限り成り立ちますので、4と6の組み合わせではだめです）

回答No.1

noname#199771

（日本語がこなれていないのに目をつぶるとして）
正しいです。