大学数学の方程式
数学の問題に関しての質問です。詳しい方にご回答お願いいたします。
私自身しっかり理解して、自分で出来るようになりたいので、なるべく詳しい解説と解答をお願いします。
１．関数u(x,y)に対しU(r,θ)=u(rcosθ,rsinθ)とおく。u(x,y)が{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たすことと、U(r,θ)が{d^2U/dr^2}+{dU/dr}/r + {d^2U/dθ^2}/r^2 =0を満たすことは同値であることを示せ。
ここでr＞0とし(x,y)≠(0,0)とする。
２．u(x,y)=log{√(x^2+y^2)}は、(x,y)≠(0,0)のとき{d^2u/dx^2}-{d^2u/dy^2}=0をみたすことを示せ。
３．u(x,y)が√(x^2+y^2)＜1で{d^2u/dx^2}+{d^2u/dy^2}=0を満たしているとする。V(x,y)=u{x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2)}は√(x^2+y^2)＞1で{d^2V/dx^2}+{d^2V/dy^2}=0をみたすことを示せ。
４．x>0,t>0で波動方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし
境界条件
∂u(0,t)/∂x=0,t≧0
と初期条件
u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2
=0 0≦x＜1または2＜x
∂u(x,0)/∂t=0,x≧0
をみたす解u(x,t)のu(x,3/2)(x≧0)のグラフを描け。
５.E(x,t)(t>0)を
E(x,t)=exp(-x^2/4t)/2√(πt)
で定義する。
f(x)をx∈Rで定義された連続で有界な関数とする。
初期条件
u(x,0)=f(x)(x∈R) …(１)
をみたす熱伝導方程式
{∂u(x,t)/∂t}-{∂^2u(x,t)/∂x^2}=0,t＞0,x∈R …(２)
を解u(x,t)をE(x,t)を用いて表せ。
m,Mを定数として関数f(x)がR上でm≦f(x)≦Mを満たせば、E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)もt＞0でm≦u(x,t)≦Mとなることを示せ。
次に、関数f(x)がR上でf(-x)=f(x)を満たしているとする。E(x,t)を用いて表された(１)を満たす(２)の解u(x,t)は、t＞0で∂u(0,t)/∂x=0を満たすことを示せ。
(∫exp(-x^2)dx=√πであることは、自由に用いてもよい。(積分区間は－∞から∞))
６．移流方程式
{∂u(x,t)/∂t}-{∂u(x,t)/∂x}=0
を－∞＜t＜∞、－∞＜x＜∞で考える。初期条件
u(x,0)=sin(x)、－∞＜x＜∞
を満たす解を求めよ。
７．sをパラメータとして、波動方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0
の解で、初期条件
u(x,s)=0,－∞＜x＜∞
∂u/∂t=sin(x+s) ,－∞＜x＜∞
をみたす解u(x,t)を求めよ。その解をU(x,t,s)で表すとして、v(x,t)=∫U(x,t,s)ds(区間は0からt)を計算せよ。
そして、v(x,t)が非斉次の方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=sin(x+t)
を満たすことを示せ。
８.x>0,t>0で波動方程式
{∂^2u/∂t^2}-{∂^2u/∂x^2}=0をみたし
境界条件
∂u(0,t)/∂x=0,t≧0
と初期条件
u(x,0)=(sin(π(x-1)))^2 1≦x≦2
=0 0≦x＜1または2＜x
∂u(x,0)/∂t=0,x≧0
をみたす解u(x,t)のu(x,3)(x≧0)のグラフを描け。
お願いします！(>人<)
お礼
試してみました。アドバイスありがとうございます。しかしながら、 V=a(t)b(t)とすると a(t)=e^tでbは b''(x)＋x/2・b'(x)-b(x)/2 =0 の解が得られるので、もしf(x)がb(x)ならばokですが、一般にf(x)は任意に与えるのでこれでは分からないと思います。問題はf(x)を任意に与えたときに解がどうなるかを使ってぜひ考えてみたいと思います。