斜面における物体の滑落方向ベクトル

質問

無知な質問かもしれませんが、質問させていただきます。

立体空間中に三角形があり、その法線ベクトルはｎだとします（ｎは正規化されています）。
そのとき、その三角形の上に置いた体積・形状・摩擦の無視できる物体が滑落する方向を示したベクトルは、ｎを使ってどのように表せるでしょうか。

また、ｎでは表せないという場合、どのようにすれば滑落する方向のベクトルは求まるでしょうか。

回答よろしくお願いします。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

n=(a, b, c) を法線ベクトル
g=(ta, tb, z)をかつらく方向ベクトルとすると

t>0

正規化条件
a^2+b^2+c^2=1
(ta^2)+(tb)^2+z^2=1

両ベクトルは直交するから

ta^2+tb^2+cz=0

以上を解くと
t=±c/√(a^2+b^2)の正の方
z=±√(a^2+b^2)のcとは異なる符号の方

お礼

ありがとうございます！
非常に参考になりました！

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。
ちょっと問題を言い換えると、以下のような感じでしょうか？

法線ベクトル：n→で表される平面があり、その上に物体(質点)を置く。
この質点が平面に沿って滑ってゆく方向はどのように表されるか？

で、「一番傾いている方向へ滑ってゆく」と考えれば、
1) 方向ベクトルで、z方向の成分が正になるものを選び(上向きの方向ベクトルを選ぶ)、
2) その方向ベクトルの (x, y)方向が、上から見たときに滑ってゆく方向になる。(この方向への傾きがもっとも大きい)

となるのではないかと。
あとは、これを n→を用いて表せるか…ですね。