数式の展開・整理について

質問

一番上のs(t)の式を三角関数の 和積の公式 を用いて展開，整理をすると2行目の式のように表されると思います。
同様にr(t)、p(t)に関しても数式の展開・整理を行いたいのですが、よくわかりません。
どなたかご教授のほど、よろしくお願いします。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

もひとつ間違い

誤り
p(t)=im(P(t)=cos(ωt){isin(Δωt)(A-Bcosα) + Bcos(Δωt)sinα} + sin(ωt){cos(Δωt)(A- Bcosα) - Bsin(Δωt)sinα}

正
p(t)=im(P(t)=cos(ωt){sin(Δωt)(A-Bcosα) + Bcos(Δωt)sinα} + sin(ωt){cos(Δωt)(A- Bcosα) - Bsin(Δωt)sinα}

結局 ω で回る基準系で見ると、Δωで互いに逆に回る回転が2個あるイメージですね。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

＃１です。誤り発見

誤

p(t)=im(P(t)=cos(ωt){isin(Δωt)(A-Bcosα) + Bcos(Δωt)sinα} + sin(ωt){cos(Δωt)(A- Bcosα) - sin(Δωt)sinα}

正

p(t)=im(P(t)=cos(ωt){isin(Δωt)(A-Bcosα) + Bcos(Δωt)sinα} + sin(ωt){cos(Δωt)(A- Bcosα) - Bsin(Δωt)sinα}

まだあるかも。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

＃１です。

>ω1=2πf1、ω2=2πf2 として
>どうなるかを整理してみます。
>R(t) = Ae^(iω1t) - Be^(iω2t)
>ω=(ω1+ω2)/2, Δω(ω1-ω2)/2 とすると

ではなくて

ω1=2πf1、ω2=2πf2 とします。
R(t) = Ae^(iω1t) - Be^(iω2t)
ω=(ω1+ω2)/2, Δω=(ω1-ω2)/2 として
どうなるかを整理してみます。

でした。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

めんどくさいので複素数で表して最後に虚部を取るという方針でやってみます。

また、

ω1=2πf1、ω2=2πf2 として

どうなるかを整理してみます。

R(t) = Ae^(iω1t) - Be^(iω2t)

ω=(ω1+ω2)/2, Δω(ω1-ω2)/2 とすると

R(t) = Ae^(i(ω+Δω)t) - Be^(i(ω-Δω)t)
= e^(iωt)(Ae^(iΔωt) - Be^(-iΔωt))
= (cos(ωt) + i sin(ωt)){(A-B)cos(Δωt) + i(A+B)sin(Δωt)}

r(t)= im(R(t)) = cos(ωt)(A+B)sin(Δωt) + sin(ωt)(A-B)cos(Δωt)

P(t) = Ae^(iω1t) - Be^(i(ω2t-α))
=Ae^(i(ω+Δω)t) - Be^(i((ω-Δω)t-α)
= e^(iωt)(Ae^(iΔωt) - Be^(-i(Δωt-α))
= (cos(ωt) + i sin(ωt)){Acos(Δωt) -Bcos(Δωt-α)+ iAsin(Δωt) - iBsin(Δωt-α)}
= (cos(ωt) + i sin(ωt)){Acos(Δωt) -Bcos(Δωt)cosα-Bsin(Δωt)sinα+ iAsin(Δωt) - iBsin(Δωt)cosα + Bcos(Δωt)sinα}
=(cos(ωt) + i sin(ωt)){cos(Δωt)(A- Bcosα) - Bsin(Δωt)sinα + isin(Δωt)(A-Bcosα) + iBcos(Δωt)sinα}

p(t)=im(P(t)=cos(ωt){isin(Δωt)(A-Bcosα) + Bcos(Δωt)sinα} + sin(ωt){cos(Δωt)(A- Bcosα) - sin(Δωt)sinα}

オンラインで書いているので間違っていたらすいません。