中二 数学 連立方程式 文章題

質問

問
きのこ中学における今年度の生徒数は267人。今年は昨年度に比べ、男子が5％増加し、女子が4％の現象で、全体で2人増加した。今年度の男子、女子の人数を求めてください。

この問題を、あえて今年の男子と女子をxとyで表し、下記のように式を立てて解いてみたのですが、答えと合いませんでした。

x+y=267
x-5x/100+y+4y/100=267-2

どこがおかしいですか？よろしくお願いします。

回答No.11

birth11

第2式が間違っている。

回答No.10

Nebusoku3

今年の男子と女子をxとyで表すと
x+y=267 　　(1)　(これはOK）

x-5x/100+y+4y/100=267-2　（これは間違い）
x (1-0.05) + y(1+0.04) = 265 （上式を変形しただけで、これも間違い）

仮に昨年の男子生徒が　100人だとして　5％増加とすれば
100 * 1.05 = 105　今年の男子生徒数　この数から去年の男子生徒数を計算した時、
105 * (1 - 0.05) ≠　100　 一致しないですね。

以下の式は合っていると思います。（少し余分な計算もわざと表示しています。）
まず去年の男子と女子をそれぞれ　x　と　yで表し計算すると。(基準が去年だから）
x + y = 267 - 2 = 265 　(1)　　　　 （これは去年の生徒数）
x * 1.05 + y * (1-0.04) = 267 （これは今年の生徒数）
書き直すと ↓
1.05x + 0.96y = 267　　 (2)　

(1)と(2)の連立方程式を解くために　(1)式に　0.96　をかけます。
0.96x + 0.96y = 265 * 0.96 = 254.4　(3)

(2)式から(3)式を引くと
1.05x + 0.96y = 267　　 (2)
0.96x + 0.96y = 265 * 0.96 = 254.4　(3)
--------------------------------
1.05x - 0.96x = 267 -254.4
0.09x = 12.6 　(両辺に100をかけると）
9x = 1260
x = 140
y = 265 -140 = 125

今年は　
x * 1.05 = 140 * 1.05 = 147　男子生徒
y * 0.96 = 125 * 0.96 = 120　女子生徒

回答No.9

noname#190065

この問題について、あなたへのポイントは２つ。１つは、増えた人数について。２つ目は、この問題の方程式の立て方です。
１．増えた人数
　　（今年の人数ー昨年の人数）＝増えた人数です。「昨年に比べ」とありますから両辺を昨年の人数で割ったものが5/100, -4/100の増えた人数です。すなわち、（今年の人数ー昨年の人数）/昨年の人数

２．方程式の立て方
　このタイプの問題は例外的に、求めたいものをx, y とするよりも昨年の人数をx, y とする方が方程式を立てやすいです。
　昨年の男子数＋昨年の女子数＝267-2
　男子の増えた分＋女子の増えた分＝2
とするわけです。２つめの式のように増えた分だけで式を作った方が、計算が楽ですし、試験でのミスを防げます。

　どうしても今年の人数で式を作りたい場合は、昨年の人数をx, y で表す工夫が必要です。それは、今年の人数ー昨年の人数＝増えた割合×昨年の人数を変形すると分かります。すなわち、昨年の人数＝今年の人数÷(１＋割合)

　これが分かりにくければ、昨年の人数で式を立てることをお勧めします。

回答No.8

kkanrei

今年は昨年度に比べ・・・なので昨年度を基準にしなければいけない。
つまり、昨年度の人数が100％として計算しなければならない。

昨年度の男子の生徒数　Ｘ人
昨年度の女子の生徒数　Ｙ人

未知数が2つなので方程式を2つ立てなければなりません。

増加した生徒数
　男子　5Ｘ/100
　女子　4Ｙ/100

一つ目の方程式は今年の全生徒数が267人であること
105Ｘ/100＋96Ｙ/100＝267
二つ目の方程式は今年の生徒数が全体で2人増加したこと
5Ｘ/100-4Ｙ/100＝2

面倒なので二つの方程式の左辺と右辺を100倍する。
105Ｘ＋96Ｙ＝26700
5Ｘ－4Ｙ＝200

上式を解いて
Ｘ＝140人
Ｙ＝125人

これは昨年度の人数なので、今年の人数は
男子　140×1.05＝147人
女子　125×0.96＝120人

以上。私はもと、国語の教師ですが、これぐらいの数学はわかります。

別解
　今年の男女の生徒数をＸ人、Ｙ人とする
　今年は去年の人数に対して
　　　男子　105％
　　　女子　96％
　従って、増加した人数は
　　男子　5Ｘ/105
　　女子　4Ｘ/96

　今年の生徒数は267人
　　Ｘ+Ｙ＝267
　今年の生徒数は去年より2人増加
　　5Ｘ/105－4Ｙ/96＝2
　　Ｘ/21－Ｙ/24＝2
　上式は両辺に504を乗じる・
　　24Ｘ－21Ｙ＝1008

　連立方程式
　　Ｘ＋Ｙ＝267
　24Ｘ－21Ｙ＝1008
　上式を解くと、今年の生徒数がそのまま計算できます。

回答No.7

ORUKA1951

文章題の基本として後から読んでいく!!があります。
問
きのこ中学における今年度の生徒数は267人。今年は昨年度に比べ、男子が5％増加し、女子が4％の現象で、全体で2人増加した。今年度の男子、女子の人数を求めてください。

＞この問題を、あえて今年の男子と女子をxとyで表し、
　なので、求める数値は「今年度の男子、女子の人数」なのですから、それをx,yとするのがまっとうな方法ですよ。

　 x + y = 267
　(1/1.05)x + (1/0.96)y = 267-2

が式になるはずですね。
　(去年の男子の人数)×1.05 = (今年の男子の人数)　両辺に(1/1.05)をかける
　(去年の男子の人数) = (今年の男子の人数)×(1/1.05)
　(去年の人数)+2 = (今年の人数)
　(去年の人数) = (今年の人数)-2
※以下等幅フォントだと見やすいです。
　 x + y = 267
　0.96x + 1.05y = 265(1.05 × 0.96)

　　　x +　　 y = 267
　0.96x + 1.05y = 267.12

　　 1　　　1　= 267
　0.96　 1.05　= 267.12　　(1)*0.96 を両辺から引く

　　 1　　　1　= 267
　　 0　 0.09　=　10.8　　両辺を(1/0.09)倍する。

　　 1　　　1　= 267　　　(2)式を引く
　　 0　 　 1　= 120

　　 1　　　0　= 147
　　 0　 　 1　= 120

　　 x　　　 　= 147
　　　　 　 y　= 120

x-5x/100+y+4y/100=267-2
が間違っているのは、
・x-5x/100は今年の人数から比較していること
・y+4y/100も同様
(1/1.05)x + (1/0.96)y = 267-2
でなければいけないですよ。

　今年の人数を求めると言う方針で良いのですが、肝心の立式を間違えてしまったのです。

回答No.6

B_one

Tacosan　すみません。

まだ寝ぼけていたようです。

求めるのは今年度の男女の生徒数でしたね。

やはりx,yは今年の生徒数にしなければだめですね。

したがって#3の式から

去年の生徒数はそれぞれ
男子：ｘ/(1+0.05）
女子：y/(1-0.04)

これでよいのかな？

回答No.5

Tacosan

「x,yは昨年度の人数として計算しなければなりません。」というのは語弊があるのではないかな＞#4.

「その方が簡単」というならともかく, 「そうしなければ解けない」ってことはないわけで.

回答No.4

B_one

#2です

ごめんなさい、寝ぼけてました。

昨年度に比べて男子５％増、女子４％減ですから x,yそれぞれ今年の生徒数として計算したところに間違いがあります。

x,yは昨年度の人数として計算しなければなりません。

したがって、
x+y=267-2
0.05x-0.04y=2

になるはずです。

まだ寝ぼけてなければですが・・・・・

回答No.3

Tacosan

つまり
(今年の男子の数) = (1 + 0.05)×(去年の男子の数)
となるわけだ.

この式から
(去年の男子の数) = (1 - 0.05)×(今年の男子の数)
となる?

回答No.2

B_one

x+y=267
x-5x/100+y+4y/100=267-2

これを整理すると、x+y-(5x-4y)/100=267-2
0.05x-0.04y=-2 ???

昨年度の男子５％増、女子4％減で２人増えたわけだから、

－２ではなくて+２では？

補足

今年の生徒数:x+y=267
去年の生徒数:x-5x/100+y+4y/100=267-2
です。
今年は去年に比べて2人増加だから、去年の生徒数は今年の生徒数-2であってるはずなんです。