連続複利の問題です

質問

連続複利の問題です

100万円を銀行に預金する。預金の瞬間利子率を年率5%として、連続複利を用いる場合預金が800万円を超えるのはおよそ何年後か。
以下の5つから選べ。
20,40,60,80,100

という問題なのですが、P円の元本は連続複利の場合N年後はP*e^Nrとなり、100e^0.05N=800を解こうと思ってもうまく解けません。
しかも上の式を変形してe^0.05N=8とし、N=40として0.05N=2となり,2.7^2=7.29,2.7^3=19.68となります。
7.29と8だと違いすぎる気がするのですがこの場合40が答えなのでしょうか？
解答お願いします。

回答No.2

Kules · ベストアンサー

A No.1のKulesです。
ああ、連続複利ってそういう計算なんですね。
なるほどーそこでeが出てくるのか。

で、7.29と8が違いすぎるかどうかという話ですが、
2.7と8や、19.68と8ほどには違わないかと思われます。
ちなみに高校数学II的にNを求めてみると、41年半ってなるんで、
やっぱりこの5つの選択肢からだったら40でいいんじゃないかなあと思います。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。

数2ということは自然対数でなく常用対数ですか？
底を10とした時log2.7=log(27/10)=3log3-1=0.4313みたいな感じで求めたのでしょうか？
log2とlog3は受験問題だと与えられているのでlog8=3log2で求められますしね。
ちなみにlog2=0.301,log3=0.4771で計算したところ41.8になりました。

ですがこれらの値が与えられていない設定なので他に解く方法がある方いらっしゃいましたらおねがいします。

回答No.4

f272

「7.29と8だと違いすぎる気がする」っていてるけど，ここで気にするのは20,40,60,80,100の5つのうちのどれがいちばん近いかということであって，差がどの程度であれば近いとか遠いとかいう話ではない。

お礼

ありがとうございます。
納得いたしました。

回答No.3

Kules

A No.1,No2のKulesです。

余計なこと書いたせいでかえって混乱させてしまったようですね。

私の考えとしては
N=20→e^0.05N=2.7
N=40→e^0.05N=7.29
N=60→e^0.05N=19.68
であり、e^0.05N=8に一番近いのはN=40なんだから、
その5つの選択肢で言えば40が答えだよね、というものです。
>数2ということは自然対数でなく常用対数ですか？
いえ、自然対数のまま求めました。log8はインチキして電卓で求めましたが(笑)
>log2とlog3は受験問題だと与えられているので
～
>ですがこれらの値が与えられていない設定なので
逆にe=2.7は与えられてなくても使っていいんですかね？少なくともここに提示されている
問題文には書いていないんですが。

数2的な手法を使ったのは実際の値がどのくらいになるのか、それが40とどの程度ずれているのかを
知りたいために検算的に使っただけであり、それ以上の意味はありません。

ここでの選択肢が
40,42,44,46,48だったらそこから「42が一番近い」という結論を出すために
常用対数なり自然対数を使う必要がありそうですが、そうでなければ
e^1、e^2、e^3と8の近さを比較するだけで十分だと考えます。

参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。
納得いたしました。

回答No.1

Kules

100e^0.05N
eってなんだろう…
100×0.05^(N)ってことでしょうか？だとすると預金残高は一瞬でなくなりますね(笑)
P円の元本は、1年後には（元本+利息）です。ってことは、利子率（あれ、利息じゃなかったっけ）5%なら、
利息がP×0.05なので、P×（1+0.05）ですよね？
e=2.7って置いてるってことはeってあのe？
なぜこの問題に出てくるんだろう…？

この問題ってとりあえず式立てて、常用対数に持ち込んで近似値使う問題じゃないのか？

何か私根本的に勘違いしている…？

参考になれば幸いです。

補足

連続複利なので
lim[m→∞]p(1+r/m)^mN=p:e^rN
となります。一年をm分割してそれを無限大に飛ばしています。
これはファイナンスの授業のノートから引用しているので間違いはないかと思われます。