連分数と無理数

質問

次の問題と答えが正しいか教えて下さい。

1÷(2+1÷(2+1÷(2+1÷……)))を求めよ

与式をpとおく。
式が再帰的であるから、p=1÷(2+p)と書ける。(p≠-2の時)
従って、p(p+2)=1、p^2+2p-1=0、p=√2 - 1

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

連分数の収束性を判定するのは、一般には難しいみたいですね。

今回の連分数については、漸化式
x0 = 1,
x[n+1] = 1/(2+x[n])
を解いてしまうことで、収束の証明とできますが…

回答No.2

alice_44

値は、いいんですけどね。
答えを導く過程の考察に、ちょっと難がある。

重大な抜けとして、その連分数が値を持つこと
…すなわち、繰り返しの回数→∞ の極限が収束
することを、証明していない。
値を p と置いて方程式という解法は、まず
p が存在しなければ、成立しません。

あと、細かいこととして、
二次方程式のもう一個の解はどうしたのか。
そこに理由がないと、p の値が判ったとは言えない。

挙げてみた値が当たってさえすりゃいい
というものでは、ないですからね。

お礼

p>0については、正の数の除算について色々並べればなんとかなりそうですが、
やはり極限に言及していないのはネックですね…
「分数の拡張」で極限を使わずに平方根を表現できるか、色々遊んでいましたが、収束を説明しないとこのあたり難しそうですね。

回答No.1

info22_

>答えが正しいか教えて下さい。
正しい。

お礼

ありがとうございます。