素集合の積の要素数を5つにする方法

質問

{1,2,3}と{2,3,4}をそれぞれ掛け合わせたものは{2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}の７つになります。
これら{1,2,3}と{2,3,4}を素集合（重複なし）にして、要素数を5つにするにはどのような組み合わせにすればいいでしょうか?
できれば、そういう組み合わせを生み出すコツを教えて下さい。
関数電卓とかPython, Ruby辺りで出したものでも構いません。

掛け算の表を見て重複の多そうな12, 24, 36辺りを狙ってみたんですけど、6つまでにしか減らせません。
ちなみに、0は入れた方が良さそうです。では、お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

A = { 0, a1, a2 }, B = { b1, b2, b3 } (とりあえず 0 < a1 < a2, b1 < b2 < b3 としておく)
とおいて要素同士の積を考えると, 大小関係と「5種類 (0 を除けば 4種類) にしなければならない」という条件から「これとこれは同じ値」という組が 2つ出てくる. さらに, 積の関係を見ると (0 以外の) 4種類は特殊な数列をなすことがわかる. そこまでいければ簡単.

0 は使わなくても, 同じように考えれば同じような結果になる.

お礼

解けました！
Tacosanのヒントを基に
a1*b2 = a2*b1
a1*b3 = a2*b2
を解いたところ、{0,3,6}{1,2,4}を見つけました。
数列は倍々ゲームですね。
{16,32,64}{256,512,1024}なんかもありですね。
昨日は一時間半考えても解けなかったのに
ヒントをいただいてから10分弱で解けました。
そういう式がスッと立てれるようになりたいです。
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

1つできると「他にもいろいろある」ことはわかるものだったりする. 例えば一方を
{ 0, -1, 1 }
としたとき, 他方でどんなものがとれるか考えてみるといいかも.