もし理論的に元素生成時のウランの同位体の比が計算で

質問

>もし理論的に元素生成時のウランの同位体の比が計算できるなら、
>その超新星爆発が何年前に起きたものかもわかる。
>例えばウラン235：ウラン238の生成時の割合が0.6：１
>（過去に遡ると、半減期の短いウラン235の割合は相対的に増加する）
>だったとすると、太陽系の元素をつくった超新星爆発は約54億年前に起きたことになる。
引用元 http://www.s-yamaga.jp/kankyo/kankyo-genpatsu-2.htm

１
>理論的に元素生成時のウランの同位体の比が計算できるなら
この文章の意味がぜんぜん分からないです。

２
また、ウラン同位体の生成時の割合から超新星爆発がいつ起きたか計算する過程も分からないです。
私は(45÷0.6)x7.4みたいな気がしてるのですが。どういった式になるのが正しいでしょうか。

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

1.
「理論的に元素生成時のウランの同位体の比が計算できるなら」
現在の元素生成論では、鉄より重い元素は、超新星爆発時に生成されるとされています。したがって、「超新星爆発時に生成されるウランの同位体比がわかれば」ということで、文言どおりです。超新星爆発の条件や元素生成の条件などは大体知れているので、生成比が計算されないでもないと思うが、たぶんもともとの超新星の元素組成などがわからないので、計算できないのでしょう。

2.
質問者の式がどこから出てくるのかわかりませんが、元素の崩壊の式から導かれます。

崩壊式

dN/dt=-λN

で、

ln(N/N_0)=-λt

N:時間t後の原子数
N_0:t=0での原子数
λ:壊変定数
t:経過時間

ここで、235Uと238Uにそれぞれ上式を当てはめれば、

ln(N_235/N_0235)=-λ_235t・・・・・・(1)
ln(N_238/N_0238)=-λ_238t・・・・・・(2)

(1)-(2)

ln(N_235/N_0235)-ln(N_238/N_0238)=-t(λ_235-λ_238)

で、

t=(ln(N_235/N_0235)-ln(N_238/N_0238))/(λ_235-λ_238)
=ln((N_238/N_235)/(N_0238/N_0235))/(λ_235-λ_238)

となって、元素生成時の同位体比、N_0238/N_0235がわかれば、現在の存在比、N_238/N_235はわかるので、
経過時間tが求められます。
ちなみに、現在の存在比はN_238/N_235は、99.3/0.7程度です。また、

λ_235=0.693/T_1/2(235)=9.90×10^(-10)[y^(-1)]
λ_238=0.693/T_1/2(238)=1.54×10^(-10)[y^(-1)]

T_1/2:半減期

ほどです。

式の導入にミスがあるかもしれないので、確認してください。