シンプルな力学問題です（下図参考）

質問

水平な床の上に、上面が傾斜している台（滑り台のような形）
が乗っています。
台は滑り摩擦係数μで滑ることができる状態です。
（静止摩擦は考慮しません）
その台の上にボールを乗せて手を離すと、
ボールが転がり落ちていくのと同時に台は
ボールに押されて右側に滑って移動していきます。
（ただし、ボールの転がり摩擦と回転モーメントはゼロとみなします）

ここで、ｔ 秒後のボールと台の速度を求めよ。
というものです。

解くにあたって、静止状態でのボールが台を右方向に
押す力は簡単に求まります。（f＝mg cosθsinθ）
判らないのは、移動し始めて、ボールと台が異なる方向に
加速度運動をしている時に、 ｆ がどう変化するのか
（または変化しないのか）という点です。
上記 ｆ の式には台の速度は入っていません（無関係です）から、
ｆ は不変だと思うのですが、一方、直感的には、加速度を持って
逃げていく台をボールが押す力は減って当然という、漠然とした
印象がぬぐえません。

私の直感の誤りを正して、納得させていただけるようなご説明を
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

＃４です。
引用サイトでは「斜面の上に乗っている人から見て」という解き方をしています。
たぶんこれは何が何だかわからないという印象になるのではないでしょうか。
斜面が加速度運動しているときの力のかかり方がどうなるのか釈然としないということからの質問なのですから、物体と斜面の運動を台と同じ立場に立って観察するという解き方のほうがいいだろうと思います。

問題は引用サイトにあるものと同じとします。
「水平な台の上に質量Ｍの斜面（高さＨ、底辺の長さＬの直角三角形）がある。その斜面の上に質量ｍの物体がある。物体と斜面、斜面と台の間の摩擦はないものとする。斜面の傾きの水平に対する角度をθとする。
頂点から滑り始めたとして以下の問いに答えよ。
（１）物体が滑り落ちて台に達した時の位置と運動開始時の位置との水平距離を求めよ。
（２）斜面の動く加速度を求めよ。」

あなたの図では物体は斜面を左向きに滑って行きます。
水平方向左向きにｘ座標を考えます。頂点の位置が原点です。斜面の重心の位置はＬ／３のところにあります。物体の位置をｘ、斜面の重心の位置をＸとします。
ｍｘ＋ＭＸ＝ＭＬ／３　　（式１）
（１）
　台まで滑り落ちたとき　ｘ－Ｘ＝２Ｌ／３　
　　式１に代入
　　　(ｍ＋Ｍ)ｘ＝ＭＬ　
　　　ｘ＝Ｌ/(１＋ｋ)　　　（ｋ＝ｍ／Ｍ）
　斜面の中点まで滑り落ちたとき　ｘ－Ｘ＝Ｌ／２－Ｌ／３＝Ｌ／６
　　式１に代入
　　　(ｍ＋Ｍ)ｘ＝ＭＬ(１／３＋１／６)＝ＭＬ／２
　　　ｘ＝(Ｌ／２)/(１＋ｋ)

下向きにｙをとります。
ｙ＝０　　　で　ｘ＝０
ｙ＝Ｈ／２　で　ｘ＝(Ｌ／２)/(１＋ｋ)
ｙ＝Ｈ　　　で　ｘ＝Ｌ/(１＋ｋ)

これは直線です。
tanθ'＝ｙ／ｘ＝(１＋ｋ)(Ｈ／Ｌ)＝(１＋ｋ)tanθ
物体の落下していく道筋は角度θ'の斜面に沿っての運動になっています。

（２）
物体の加速度の水平方向成分をａx、斜面の加速度をＡとします。
作用・反作用の法則を使うと　ｍａx＋ＭＡ＝０
物体の速度をｖ（成分をｖx、ｖy）、斜面の速度をＶとします。
ｍｖx＋ＭＶ＝０　
ｖy＝βｖx　　（β＝tanθ'）　
エネルギー保存の式に代入します。
２ｇｙ＝(１＋ｋ＋β^2)(ｖx)^2
ｙ＝βｘを入れます。
２ｇβｘ＝(１＋ｋ＋β^2)(ｖx)^2　
これよりｘ方向の加速度として
ａx＝βｇ/(１＋ｋ＋β^2)
　　＝ｇsinθcosθ/(１＋ｋ(sinθ)^2)　　（式２）
Ａ＝－ｋａx
　＝－ｋｇsinθcosθ/(１＋ｋ(sinθ)^2)

ここまでは水平方向に働く力がどのようなものであるかについては具体的には何も考えていません。物体から斜面に働く力と斜面から物体に働く力とが作用・反作用の関係を満たすということだけから出てくる関係です。水平方向の運動量保存則もここから出てきています。斜面と物体を合わせた系の重心の位置が変わらない、ということと物体は斜面と接触を保ちながら運動しているということを使っています。

どういう力が働いているかがはっきりとはイメージすることができないという状況にあるのですから、力からスタートして考えるというのではないこのような解き方の方が理解しやすいのではないでしょうか。

力はこの結果から逆に引き出すことになります。
式２から物体に働いている力の水平方向の成分は
ｆ'＝ｍａx
　＝ｍｇsinθcosθ/(１＋ｋ(sinθ)^2)　　（式３）
であることがわかります。

式３の結果は固定された斜面の場合の表現
ｆ＝ｍｇsinθcosθ
と異なります。
物体は角度θ'の斜面の方向に運動しているのですから固定した角度θ'のの斜面を滑り落ちていると考えたものと一致するのではないかと考えたくなります。その場合の力は
f”＝ｍｇsinΘ'cosθ'
でもこれはｆ'には一致しません。
２体の運動を１体に読み直すときには注意が必要です。

補足

丁寧なフォローアップありがとうございました。
理解いたしました。
相当、技術的に高度な解法で、感心いたしました。
ただ、私の記憶では、かなり幾何学的な（プリミティブな）
方法で私は解いたように記憶しています。
なにしろ、この問題に割ける時間は全120分中の
せいぜい20分ぐらいじゃなかったんでしょうか。
（受験後、予備校の先生に確認して私の解答が正しかった
ことも確認しています）
教えていただいたことを参考にして、
もう少し考えてみます。床との摩擦係数μも取り入れて。

どうもありがとうございました。

回答No.4

htms42

疑問に思っているのは「斜面が加速後運動をしているときに物体と斜面の間に働く力はどのようになるか」ですね。斜面が加速度運動をしていれば逃げていくような感じになるので力は変化するはずだと考えたということになります。

そうであればいろいろ付けられている条件は問題を複雑にしているだけです。なぜ摩擦のある場合を考えたのでしょうか。なぜ物体ではなくて転がる球を考えたのでしょうか。球を考えていながらなぜ慣性モーメントや静止摩擦を無視するという仮定を入れたのでしょうか。（もともと、こういう問題があったというのは考えにくいです。あなたの疑問を解くためにあなたが設定した問題なのではないでしょうか。）

＃１に参考としてのせられている質問にある場面でいいのではないでしょうか。
http://okwave.jp/qa/q7478318.html

水平な台の上に質量Ｍの斜面がある。その斜面の上に質量ｍの物体がある。
物体と斜面、斜面と台の間の摩擦はないものとする。斜面の傾きの水平に対する角度をθとする

これでも物体と斜面の間に働く力がどのようになるかを吟味することはできます。（この場面で問題を解くことができないのであればあなたの質問文のなかの問題のようなややこしい場面を解くことはできないでしょう。）

物体が斜面を水平に押す力の大きさは　ｍｇsinθcosθ　ではありません。これは斜面が静止しているときの式です。角度θの方向に動くという条件が成り立っている場合です。「斜面に沿って動く」と「角度θの方向に動く」とは同じことではありません。斜面が動く場合はあなたが「斜面が逃げていく」とと考えたことのほうが正しいのです。力も動く方向も変わります。
物体が斜面を水平に押す力の大きさは　
ｍｇsinθcosθ/(１＋ｋsin^2θ)　　ｋ＝ｍ／Ｍ　
です。ｍｇsinΘcosθ　よりも小さくなっていますね。ｋ＝０　とすると斜面が止まっているときになります。

物体は斜面に沿って動きますが斜面も動くのですから物体が落下していく方向の角度はΘではありません。斜面が反対方向に動く分、θよりも大きくなります。
tanθ'＝(１＋ｋ)tanθ

あなたの考えた「斜面が逃げていく」ということが起こっている結果です。

エネルギー保存則と運動量保存則（とそれに関連しての「重心の位置が変化しない」という性質）を使うとわかりやすく解くことができると思います。

補足

またの回答ありがとうございます。（この方のほかの方も）
なんか判ってきそうです。過去QAも参考にさせていただき、
さらに自分のものにしてみたいと思います。

おっしゃるとおり、疑問点だけクローズアップしないで、心ならずも、
問題をいたずらに複雑にしてしまいました。反省しています。

以下余談です。お暇なとき読み飛ばしてください。

＞もともと、こういう問題があったというのは考えにくいです
それが、あったんです！
私が受けた大学入試の物理の問題でした。なんと、48年前の春です。
その時は解けたんだと思いますが（？）、なかなか面白い問題だと
思い記憶はしていたものの、どう解いたかは忘れていました。

それにしても、ここで教えていただいた過去QAにそっくりの問題を
見たときは驚きと感動でした。

また、別件で疑問を思いついたらアップしますので、
みなさん、よろしくお願いいたします。
ありがとうございました。

回答No.3

hitokotonusi

＞（つまりボールと台の速度が変化しても）不変と言うことなんですね。

この問題は結果的に等加速度運動ですから。
これが断面が円形の斜面などで加速度運動になった場合は垂直抗力は変化します。
一般論として不変ではありません。

回答No.2

oignies

Ｆ＝ｍｇｃｏｓθｓｉｎθ

のうち、

ｍは質量ですから不変（質量不変の法則）
ｇは重力ですから不変（重力は、地球がおもさのあるものをひっぱるちから）

さらに

ｃｏｓθｓｉｎθは、坂の傾斜に相関してきまるものですが、球がうごいても
傾斜はかわらず、よって不変

よって

Ｆは、球がうごいてもかわりません。

補足

自分から言うのも変ですが、
F=mg cosθ sinθ
というのは静止状態の式ですよね。
動いた場合にもこの式が適用できるかどうか
の確信がないのです。

回答No.1

hitokotonusi

ボールに働く力は，重力mgと台からの垂直抗力f，及び，台からの摩擦力T。

回転の運動方程式を考えると重力と垂直抗力はトルクに寄与しないので

I α = T a

したがって，慣性モーメントIをゼロとするということは摩擦力Tも0になり，摩擦のない斜面上で質点を滑らす場合と同じになります。

したがってボールの並進の水平方向の運動方程式は

m ax = - f sinθ

で，ボールが斜面上でつりあいの状態で静止することはありえず，
したがって垂直抗力がf＝mg cosθsinθになることもありません。

詳細は以下を見てください(座標軸の取り方で符号は変わります)

http://okwave.jp/qa/q7478318.html

これに台と床の間の動摩擦を加えたものになります。
その過去QAには入っていませんが，台が床から受ける垂直抗力をNとすると，
動摩擦力はμNで，Nは台のy方向の加速度Ayが0の式からfであらわせます。

＞ｆ は不変だと思うのですが

垂直抗力が不変だというのは大きな間違いです。垂直抗力は運動の状態でいかようにも値を変えます。

もっと問題を簡単にして，机の上に質量mのリンゴを乗せます。
リンゴに働く力は重力mgと机からの垂直抗力Nで，運動方程式は

m a = N -mg

机ごとリンゴが静止していればa=0なので，N = mg

机がロープで吊り下げられて，机とリンゴが一体となって加速度の大きさgで上向きに引き上げられていたら，a = g (重力とは逆向き)で，N = 2mg

補足

教えていただいた過去QA、読ませていただきました。
台の抗力（つまりボールが台を押す力）の式には
台やボールの速度、加速度は入っていませんね。
つまり、ボールが台を押す力は時間が経過しても
（つまりボールと台の速度が変化しても）不変
と言うことなんですね。

質問した通り、なぜかモヤモヤ、釈然としない気分は
依然ぬぐえませんが。。。。