一番素朴な対数（log）の効果（というか、logという概念が生まれた時に言われた効果）というのは、「大きな数の計算をするのが楽になる（「天文学者の寿命を延ばした」とも言われたらしい）」ということでしょう。
具体的に説明します。
logの性質として、「掛け算を足し算にできる」、「累乗を掛け算にできる」というのがあります。つまり、
log(a×b) = log(a) + log(b)
log(c^d) = d×log(c) （「^」という は、累乗を表す記号です）
これを使うと、例えば、2^10×3^20（２の１０乗×３の２０乗）の値を知りたいときに、以下のように概算できます。
X=2^10×3^20とすると、
log(X)=log(2^10×3^20)
=log(2^10) ＋ log(3^20)
=10log2 ＋ 20log3
となり、log2≒0.3010、log3≒0.4771なので、（注：底を10にしています）
log(X)≒10×0.3010 + 20×0.4771
＝12.552
となります。したがって、
X≒10^12.552
＝3,564,・・・（３兆５千６百４十億・・・）
となり、だいたいの値がわかります（正確さを犠牲にして、大体の桁数などがわかったということです）。［正確な値は、3,570,467,226,624です。］
ただ、現代では上記のような計算は全てコンピュータがやってくれるので、上記のメリットは薄いでしょう。むしろ、「何かと何かの相関関係を調べるときに、直接的な値そのものではなく、logをとった値で調べると相関関係をつかみやすく、また、計算もしやすい。」といった点が便利なのかも知れません（「物理的な音量」と「人が感じる音の大きさ」とか←うろ覚えです）。
