数B・数列の教科書問題です。緊急です！

質問

a[1]=1,a[n+1]=(4-a[n])/(3-a[n])
で表される数列{a[n]}について、

(1)
1/(a[n]-2)=b[n] とおいて、b[n+1]をb[n]で表せ。

(2)
b[n]をnで表せ。

(3)
a[n]をnで表せ。

上の問題で、解答自体は手元にあり理解は出来たのですが、
「(1)(2)の導入が無く、いきなり(3)が設問に上がっている場合はどうやって考えたらいいのか？」
が引っかかっています。
(1)の「1/(a[n]-2)=b[n] とおく」という発想はどこから来ているのでしょうか？

読みにくくてすみません。
回答よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

一次分数関数の合成は行列の積で表せる
ってのがネタの出所です。
今は、高校では教えないからなあ。
私の頃には、数II のキモだったんですが。

a[n+1] = (4-a[n])/(3-a[n]),　　…(*)
a[1] = 1.

漸化式の右辺をぐっと睨んで
x[n] = 4y[n] - x[n],
y[n] = 3y[n] - x[n],　　…(**)
x[n] = a[n],
y[n] = 1
と置くと、この連立漸化式の解を使って
a[n] = x[n]/y[n]　　…(*3)
が (*) の解になります。

v[n] = (x[n],y[n])^t,
A =
　　　-1　　　4
　　　-1　　　3
と置けば、(**) は行列の言葉で
v[n+1] = A v[n]　　…(*4)
と書けて、
v[n] = A^(n-1) v[1]
と解けます。

この A に、いわゆる「標準化」をします。
手順は後述するとして、結果は、
P =
　　　2　　　1
　　　1　　　1
と置いて
D = (P^-1)AP =
　　　1　　　1
　　　0　　　1
です。これらを使って (*4) を変形すると、
(P^-1)v[n+1] = D (P^-1)v[n]　　…(*5)
となります。

v[n] から a[n] を作ったのと同様に
(P^-1)v[n] から c[n] を作ると、
c[n] = (x[n] - y[n])/(- x[n] + 2y[n]),　　…(*6)
c[n+1] = c[n] + 1　　…(*7)
です。

D^(n-1) を計算するのが簡単なことを反映して、
c[n] の漸化式を解くのが簡単なのです。
(*3) を使って (*6) を変形すると、
c[n] = (a[n] - 1)/(-a[n] + 2)。　　…(*8)
(*7) を解いて (*8) から a[n] に翻訳すると、
冒頭の漸化式 (*) が解けます。

あれ？ c[n] = 1/(a[n] - 2) じゃありませんね。
なんで、b[n] = 1/(a[n] - 2) と置くんだろう？
(*8) より c[n] = -1 - b[n] の関係がありますから、
(*7) が b[n+1] = b[n] - 1 となって
a[n] を求める計算は似たようなものだけど…

まあ、b[n] にせよ、c[n] にせよ、
(*5) を解いて (*3) へ代入してしまえば
要らないんですけどね。

回答No.2

spring135

＃1です。説明の途中で式を飛ばしていました。

b[n+1]=b[n]/(1-b[n])

これから

逆数の式を作ると

1/b[n+1]=(1-b[n])/b[n]＝1/b[n]-1

これからb[n]の逆数

c[n]=1/b[n]

を思いつきます。

回答No.1

spring135

いい質問です。

受験問題の(1),(2),(3)というような小番の付いた問題は屈辱を感じます。
要は一般項を求めればいいんだろう、ちょっかい出すなという感じですね。

a[n+1]=(4-a[n])/(3-a[n])　　　　(1)
において収束値pがあるとすればそれは何かということから始めます。

lim(n→∞)a[n])=lim(n→∞)a[n+1])=p

という発想です。

p=(4-p)/(3-p)

これを整理すると

p^2-4p+4=0

p=2(重根、重解というのかよくわかりません）

実は重解が出る場合はむしろ面倒なのですがこの場合がそれです。

(1)の両辺から2を引いた式を作ると

a[n+1]-2=(4-a[n])/(3-a[n])-2＝(a[n]-2)/(3-a[n])

ここで

b[n]=a[n]-2

とすると上式は

b[n+1]=b[n]/(1-b[n])

そこで

c[n]=1/b[n]

とすると

c[n+1]=c[n]-1

となり等差数列に帰着します。

従って挙動はすべてわかっています。

c[n]=1/(a[n]-2)

これが質問者への回答です。