等速円運動の微分

質問

高校で数3を一切取っていません

方程式は立てられたのですが画像のようにどうして二回微分するとこのような式になるのでしょうか。

それと最後に運動方程式を平行成分と垂直成分の二つからどうやって計算すれば
mθ・^2 = k

となるのでしょうか。

・（ドット)は一回微分を示しています

ご教授お願い申し上げます。

回答No.3

ask-it-aurora · ベストアンサー

<回答No.2訂正

誤 d^2p/dt^2 = (-r d^2θ/dt^2 cosθ - r dθ/dt cosθ, r d^2θ/dt^2 - r dθ/dt sinθ)
正 d^2p/dt^2 = (-r d^2θ/dt^2 sinθ - r dθ/dt cosθ, r d^2θ/dt^2 cosθ - r dθ/dt sinθ)

誤 -d^2θ/dt^2 cosθ - dθ/dt cosθ = -k/m cosθ
正 -d^2θ/dt^2 sinθ - dθ/dt cosθ = -k/m cosθ

誤 d^2θ/dt^2 - dθ/dt sinθ = -k/m sinθ
正 d^2θ/dt^2 cosθ - dθ/dt sinθ = -k/m sinθ

あとこれは等速円運動なので明らかにdθ/dt = const. ですね（汗）．したがって最後の式から
k = m dθ/dt
です．

お礼

一番最初の回答をくださった方にもお話をしましたが導出の一連の流れをみてようやくそこからじっくりと意味を理解しようとし始めることしかできない能力です。
専門家の方はそんなのも知らないの?の一言で終わってしまうことも重々承知でだからこそそれでもド素人にも分かる説明をしてくださる方にお願いをしたくこうして質問を致しております。
そのお願いにこのように入力だけでも大変な作業になってしまうのに丁寧に根本を理解するための沢山のご助言誠にありがとうございます。

今後ともよろしくお願い申し上げます。
本当にありがとうございました。

回答No.2

ask-it-aurora

まず一般的な注意：使う文字は（慣習的にわかりますが）自分で説明してください．また記号の使い方に混乱が見られるので（垂直成分と平行成分の両方におなじ記号 f を使っている）問題を言い直します．あなたの意図と違ったら教えてください．

xy 平面上にある半径 r の円周上を等速運動する質量 m の質点を考えます．時刻 t のときx軸となす角をθ=θ(t) とし，その位置 p = p(t) を
p(t) = (r cosθ, r sinθ)
とします．また質点には p に比例する復元力 F が働いていて，比例定数を F = -k p (k > 0) で定めます．

さて問題の微分はただの積の微分を計算するだけです．ただし計算結果は間違っていますが．時刻 t を明示してややくどめに書きます．

dp/dt = (-r dθ/dt sinθ, r dθ/dt cosθ)
d^2p/dt^2 = (-r d^2θ/dt^2 cosθ - r dθ/dt cosθ, r d^2θ/dt^2 - r dθ/dt sinθ)

したがって運動方程式 m dp^2/dt^2 = F を並行成分と垂直成分に分けて書き下せば（m, r > 0 なので）
-d^2θ/dt^2 cosθ - dθ/dt cosθ = -k/m cosθ
d^2θ/dt^2 - dθ/dt sinθ = -k/m sinθ
となります．

つぎに m d^2θ/dt^2 = k になると主張したいようですが（少なくとも僕は）上の式からその関係式を導けませんでした．導出できた形の似た式といえば運動方程式の両辺の距離をとって
k = m √[(d^2θ/dt^2)^2 + (dθ/dt)^2]
くらいです．

お礼

ありがとうございます。根本的な理解が不十分なまま進んでいましたので基礎的なことも十分踏まえこちらが不足している要素までお察しくださりそのうえでのご教授誠にありがとうございます。
いまから一生懸命ノートに示して自力でお示しくださった解答を理解できるように努めます。
本当に大変な作業ありがとうございました。

今後ともよろしくお願い申し上げます。

回答No.1

Tacosan

まず上の部分ですが, 「二階微分」だけが問題ですか? つまり, f'(x) や f'(y) が (って, この書き方も危険だなぁ) そのようになることは理解できているのですか?

で, 「等速円運動」のとき角度は時間とともにどのように変化しますか? それがわかれば後半は簡単ですよ.

あと念のため書いておくけど「高校で数3を一切取っていません」なんてのは自慢でもないでもありません. もし本当にとっておらず, しかしいま必要だということであれば自力で学んでください.

お礼

自慢しているわけではなく焦っています。
どうしても必要なので間違いを私的下さって正しい方法を教えてくださる方を求めてこのように質問をしている限りです。
お説教など受けずとも本人が一番自覚しています。
だからこそ質問をしているのですが質問とはわかっていますよ
というものを質問しなくてはいけないのでしょうか。
わからないから質問をしています。

なのであなたが頭がいいのもわかりますしこちらが馬鹿なのも重々承知です。
それを私は頭がよくて説教をしますよ。
という回答を求めているわけではありませんので。

なので途中式だとか導出の方法を教えてくださる方がいるのが本当の救いになっています。

自慢がしたかったり力がなくとも努力をしようとする人間を中傷するだけならそれこそ焦っている人間からすればこうしてお返事をするのだけも無駄ですのでもう二度と書き込みはされないでいただけますか？

重々失礼を承知で書き込みを致しました。
大体、どうしてインターネットでわざわざ書き込みをしてまで質問をしたいか質問者の気持ちも少しは察してください。

手取り足取り教えてほしいから質問をしています。
なのであなたは専門的な能力がある人間を指導することに素晴らしい方だということも質問の回答を拝見していつもそれを感じております。
しかし私にとってははっきりいって迷惑です。

ビギナーには一切教えられない指導者を僕は求めておりません。
困っている人間を余計困らせる説教はお願いですからやめていただけませんか。

書き方自体からも理解しているとは思えないと書いてありましたが

理解できないから理解したいと思う人間への教え方はできないのでしょうか？
なのでコンセンサスが違いますので本当に回答をするのはご勘弁いただけますか。

大変失礼なことばかり書き込み申し訳ございませんが時間がないなかでも理解しようと努めておりますのでお察しください。
最後に度重なる大変な失礼申し訳ございませんでした。