まず、全く考えたこともない疑問で、とても興味が湧きました。
質問1
の答
★実際にありますが、使わないことをおすすめします。
I don't know what to do.
→I don't know what I should do.
基本的に「疑問詞＋不定詞」の形は、このような疑問詞でしかも助動詞を使った節に書き換えられます。
1. I don't know what I should have done.
2. I don't know what to have done.
このとき、２の文に仮定法的意味合いを含ませているわけですが、これを是とするか非とするかではないかと思うのです。これからこういう文が認められてきて、20年後には日本の英文法の教科書にも出現する表現かもしれません。
Googleで "know what to have done"と"........."で完全一致検索をかけると、どっとヒットするのには驚きです。（最も、Googleのヒット数は、非公開のアルゴリズムを使って算出しており、私はこの結果に矛盾を見つけましたし、ありえないことが起こるので、参考程度に見ていますが...）
普通のネットサーフィンではひっかからない文もご紹介します。
"For the past three years, I've thought about what to have done," Montag told the mag. "I'm beyond obsessed."
(The Boston Herald January 14, 2010)
One of the tricks is knowing what to do yourself, and what to have done by professionals, Joe said.
(Chicago Sun-Times July 21, 1991, Brenda Warner Rotzoll)
"For the past three years, I've thought about what to have done," the reality star told People.com. "I'm beyond obsessed."
(Oakland Tribune, January 13, 2010, Tony Hicks)
The Boston Herald, Oakland Tribuneなどの記事の中にも、"what to have done"があります。
以上から、実際に使われていることは間違いありませんが、私の手元にある文法書等には、出ていません。
質問2の答
こちらは、検索でもヒットがあまりなく、こう書く人もいるが、認めていいほどではないーーと思いました。これは、使う必要は全くなく、また、実際に使う人もかなり少数だと思います。
ちなみに"what for me to do"で検索すると、"though I don't know what, for me to do is ..."みたいな、こっちの意図しないものとか、このOKWaveの質問そのものとかがたくさんヒットしてますが、中にはまともに使っている人もいました。
"Will you please write to me," Whisnant quotes Miller, as he beseeched America's Depression-era savior, "and tell me if I am wrong. And what for me to do."
(The Independent Weekly January 17, 2007 | Pattishall, Roy)
新聞・雑誌では、こういう例が、引用ではありますが、１つだけみつかりました。
★私の見解
what to have doneの形 → 使う必要はないが、こういう英語も実際に存在する
◎what 主語 should have done (could等の助動詞もありそう）で言えばよい。
what for me to doの形 → これは無視してよい
◎what I should doの形で言えばよい。for meをI にして、助動詞つきで意味がとりやすい。
以上、ご参考になればと思います。
お礼
回答ありがとうございました 詳しく、丁寧な回答の上に 文例まで挙げていただき感謝します とてもよくわかりました！