円と接弦定理、二重積分

質問

よく分からないので, 教えてください。

円 C : x^2 + y^2 = a^2 (a ＞ 0) と, この円周上に4点 A, B, P, Q があります。
A, B の座標はそれぞれ, (0, a), (0, -a) で, P の x 座標 p と Q の x 座標 q は, それぞれ p ＞ 0, q ＜ 0 を満たしています。
また, 定点 E の座標を (a, -a) とします。
(1) ∠PQB = ∠PBE が成り立つことを, 円周角の定理の系 : ∠PQB = ∠PAB を用いずに証明することは可能でしょうか。
(2) 弧 BPA = D = {(x, y) | x^2 + y^2 = a^2, x ≧ 0} とするとき,
∫∫_D (y^2)/√(a^2 - x^2) dxdy の値はどうなりますか。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)可能。
図を描いて追って下さい。
∠PQB＝∠POB/2
　　＝(∠AOB-∠AOP)/2
　　＝(180°-∠AOP)/2
　　＝90°-∠ABP
　　＝∠ABE-∠ABP
　　＝∠PBE
とたどればよい。それぞれ何の定理や性質を使ったかは自身で考えてみて下さい。

(2)このDは半円弧であり、面積を有する領域となっていません。なので積分値はゼロです。
∫∫_D (y^2)/√(a^2 - x^2) dxdy=0
面積素dxdyでの積分は面積を有する領域でないと積分する意味がありません。なぜなら、面積ゼロのものをいくら集めてもゼロだからです。

Dを円弧BPQと直径AOBで囲まれた領域（半径aの円盤の半分の領域）
D= {(x, y) | x^2 + y^2 ≦ a^2, x ≧ 0}
であれば、以下のように面積積分が可能です。
∫∫_D (y^2)/√(a^2 - x^2) dxdy
=2∫[0→a] (a^2 - x^2)^(-1/2)dx∫[0→√(a^2-x^2)] y^2 dy
=2∫[0→a] (a^2 - x^2)^(-1/2)dx [y^3/3][0→√(a^2-x^2)]
=2∫[0→a] (a^2 - x^2)^(-1/2)*(1/3)(a^2 - x^2)^(3/2) dx
=(2/3)∫[0→a] (a^2 - x^2)dx
=(2/3)[a^2*x -x^3/3][0→a]
=(2/3)[a^3 -a^3/3]
=(4/9) a^3

お礼

質問してないことまで計算してくださって, どうもありがとうございました。

補足

>図を描いて追って下さい。
>∠PQB＝∠POB/2
円周角の定理の系は使えないのに, 円周角の定理そのものは使って良いとの判断ですか。
他に証明方法がないなら（残念ながら, 確認できていません）, 円周角の定理を使わずに接弦定理（ここで証明されたことは, 接弦定理より弱いですが）を証明できると思っている人には, 大いに参考になります。
でも, そういう人は, 循環論法を知らないかもしれない。

>面積素dxdyでの積分は面積を有する領域でないと積分する意味がありません。なぜなら、面積ゼロのものをいくら集めてもゼロだからです。
どこまで理解して書いているのか良く分かりませんが, 可積分で 0 という値になるのに, 意味がないとは面白いことをいいますね。