- ベストアンサー
カントールの対角線論法とは？
- カントールの対角線論法は無限集合における大きさの比較に関する定理であり、無理数の集合が自然数の集合よりも多くの要素を持つことを示しています。
- 具体的な例を用いて説明すると、無理数の集合と自然数の集合を1対1に対応させることを考えます。しかし、対応させた無理数に対して小数点以下の数字を変更する操作を行うと、新たな無理数が得られます。この新たな無理数は、元の無理数とは異なる要素であり、自然数との対応関係も失われます。
- したがって、無理数の集合は自然数の集合よりも要素が多いことが示されます。これにより、カントールの対角線論法は無限集合には大小が存在することを示す重要な定理となっています。
- 日比野 暉彦（@bragelonne）
- お礼率92% (10869/11736)
- 哲学・倫理・宗教学
- 回答数63
- ありがとう数55
- みんなの回答 （63）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
#46です。たった一夜で、こんなに番号が増えたんですね(^^)。こういう話題に興味を持つ人は、やっぱり沢山いるんなぁ～（・・・違った、数人か）。でも皆さん熱心ですね。やっぱり皆、現在の集合論はどこか異様だと、感じてるのでは？と、勝手に邪推してしまいます・・・(^^)。 ＞（１） ★ 今の結論は、「現在の無限集合論は嘘かも知れないが、嘘にしても良く出来た話だ」・・・です。 ☆ 役に立つということのようですね。 それでも わたしの見方からすれば その起源について知っておきたいとは思います。 私の見方からしても、その起源について知っておきたいです。現在の集合論は直観主義の数学などと比較すると、圧倒的に役に立ち、技術として非常に強力です。その「強さ」は、何を受け入れる事によって手に入れたのか？、代償として何を諦めたのか？。役には立たなくても、そのような事をちゃんと知っておきたいと思っています。 ＞☆ これは 人間の眼から見て《無茶な仮定》なのでしょうが α さんにとっては お茶の子さいさいのわざではないでしょうか？ と言うより そういう能力を持った α さんを想定しているのですから。 ＞実数無限を 実無限と呼ぶ一定のアタイを取るあたかも有限の数として扱うことが出来ると仮定したわけですから。 そういう想定（仮定）はしてないんですよ。 ＞ 実数無限を 実無限と呼ぶ一定のアタイを取るあたかも有限の数として扱うことが出来ると仮定したわけですから。 α さんは可算無限人（我々は有限人）なので、α さんにとって可算無限は有限に見えても、実数無限はやはり彼にとっても我々にとっても無限です。ただしαさんにとって、実数無限は可算無限になります。ポイントはここかな？、と思いました。 自分は、彼の有限（我々の可算無限）とかわかりにくい表現をしましたので誤解が生じたのかな？、とも思いましたが、そうではない気がしました。 実無限を想定したとしても、それは一定の値を取りません。それはあくまで一定の値を取らない無限です。αが有限とみなす可算無限は、我々の有限とは正反対のもので別物です。それは有限の対立概念である、無限に属するものです。 α さんは可算無限の終端が見えるので、そこではα さんも、可算無限と連続無限の比較において、我々が行う有限と可算無限の比較と、同じ「論理」を使うだろうと想定する。その一点に関してしか、数学は言わない。α さんの有限と、我々の有限が同じだなんて、誰が言った？。俺は言ってないぞ、と現在の数学は強弁します（するんですよ）。 以上が、「言葉（概念）の意味において矛盾ではないのか？」と問われれば、そうだと思います。それが現行数学の失ったものだと思います。数え尽くせたと仮定した存在として実無限を指定したのに、一定値を取らないとか・・・。 今回は、論点整理のために、これくらいにします（整理になったのかな・・・(^^；)）。 ＞☆ 経験世界における無限は 無理数のたぐいなのでしょうか。 この経験世界を超えた《非経験の場》という想定 つまりそれとしての無限は むろん想定ですよね。 現実に観測できる無理数は、（それがあったとして）無理数の有限桁数までで、常に有理数です。それでも一つの無理数が「ある」と、論理的に首尾一貫して言うためには（経験的にありそうだから）、全ての議論に先行させて実無限の存在を認める必要がありました。それが無限公理の要請です。 なのでコーシー式の実数論は、（近似規則は与えますが）ある無理数を近似する全ての有理数の集まり（集合）を、その無理数そのものだとみなします。それらの集合達と、無限公理の要請によってあるはずの無理数達の一個一個が、全単射の関係を結ぶからです。この状況を、同一視するという一言で片付けますが、存在論的には、極悪非道かも知れません(^^；)。
その他の回答 (62)
- NemurinekoNya
- ベストアンサー率50% (540/1073)
こんばんはです。 ここで言っているのは、無限にはいくつかの種類があるということです。自然数の無限よりも、無理数の無限の方がランク・階層、無限の度合い、数学の用語で言うと《濃度》が上だということです。無限にもいろいろな種類があるということなんです。 ご紹介のサイトの説明（証明）よくないです。全然、駄目です。《無理数の小数点以下の各々勝手に数字を変えます》というところが駄目です。具体的にどのように並べ替えたのか、その方法を示さないと駄目です。 説明、弱ったな～。 ☆☆☆☆☆☆ ～～～～～～ 【Q‐１】 （ c ）の《（０と１の間の）すべての無理数》というとき そのすべてがリストアップされうるのでしょうか？ それは 無限――つまりこの場合 可能無限――であると見てよいか？ ～～～～～～ リストアップできません。 できるとすると、リストアップされた無理数は、それに１、２、３…という番号を割り当てることができる。そう仮定すると。。。。という意味です。つまり、この証明は背理法を使っているのです。 ～～～～～ 【Q‐２】 もし前項の無理数の集合が 無限であるならば （ d ）の １，２，３，・・・とやはり対応させられる自然数の数も無限になる。と捉えてよいか？ ～～～～～ 自然数の集合｛ １、２、３、…｝は無限（集合）です。 ～～～～～ 【Q‐３】 もしよければ （ f ）に言うあらたに勝手に作った無理数（例えば0.245……）は もともとその無理数の集合の中にふくまれているものではないか？ ～～～～～ （当然、無理数の集合ですのですが。。。。） ただ、0.133……を並べ替えてつくった0.245……の小数点１位の数字「２」は１ではない。小数点２位の数字「４」も２ではない。３位は「５」も３ではない。。。。 0.245……に対応する自然数の番号をもつ無理数ががない。 だから、無理数をリストアップし、自然数の番号を割り当てられると仮定したことが間違っている。 無理数には、自然数の番号を当てて割り当てることができない。 無理数の集合は、自然数の集合よりも、個数が多い。 というわけです。 Wikipediaのカントールの対角線論法 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95 の説明も難しいですね。 なので、 中村秀吉 パラドクス 中公新書 などのカントールの対角線論法の説明がいいのではと思います。 要するに、無理数の集合の要素、一つ一つに自然数の番号を割り当てられるかどうかということなんです。で、割り当てられない。だから、無理数の無限の度合いは、自然数や整数、有理数の無限の度合いが大きいというわけです。 なお、自然数の番号を当てられる集合を、番号を与えることができるということで、可付番集合とよび、無理数のように与えられない集合を可付番でない集合と呼びます。そして、無限の度合い・濃度は、それこそ無限にあります。
お礼
ねむりねこさん すみません。ご回答をありがとうございます。 ★ 要するに、無理数の集合の要素、一つ一つに自然数の番号を割り当てられるかどうかということなんです。 ☆ ですね。 ★ で、割り当てられない。 ☆ これの証明は 次ですね。 ★ ～～～～ （あ） ただ、0.133……を並べ替えてつくった0.245……の小数点１位の数字「２」は１ではない。小数点２位の数字「４」も２ではない。３位は「５」も３ではない。。。。 （い） 0.245……に対応する自然数の番号をもつ無理数ががない。 （う） だから、無理数をリストアップし、自然数の番号を割り当てられると仮定したことが間違っている。 （え） 無理数には、自然数の番号を当てて割り当てることができない。 （お） 無理数の集合は、自然数の集合よりも、個数が多い。 というわけです。 ～～～～～～～ ☆ （い）が分かりません。 ★ 0.245……に対応する自然数の番号をもつ無理数がない。 ☆ と言われても それはまだリストアップしていなかっただけではないのでしょうか？ あるいは言いかえれば （ c ）で《（０と１の間の） ≫すべての≪ 無理数がただ１つの列にリストアップされている》というそのリストにすでに この《0.245……》なる無理数は 入っているはずではないのですか？ もしこのウタガイが間違っていなければ （う）も分からなくなりますし （え）（お）にもみちびかれない。すなわち ★ だから、無理数の無限の度合いは、自然数や整数、有理数の無限の度合いが大きいというわけです。 ☆ という結論が分かりがたくなります。 ★ 無理数のように与えられない集合を可付番でない集合と呼びます。 ☆ これは番号をつけられないというよりは どこまでリストアップしても限りなくつづくゆえにという意味ではないのでしょうか？ 言いかえると 自然数によって １，２，３，・・・と順番に限りなく番号をつけて行けるというようにも思われるのですが どうしてそうではないのでしょう？ すみません。よろしかったら おしえてください。 けっきょく《無限》における《濃度》なんていうのが どうしてあるのか。これが 分かりませんが そこまで行かないとしても 上に書き出しました疑問についておしえていただければさいわいです。
- old_sho
- ベストアンサー率38% (20/52)
そのサラリーマンの説明が、勇み足なのでしょう。 （c）＝（d）なのです。リストアップされると仮定する事と、自然数と１対１対応できると仮定する事は、同じ事なのです。 したがって、Q３、Q４は、問いとして不成立なのです。 なお、ご質問とは関わりなく、自然数も当然に無限です。
お礼
おーるどしょーさん こんばんは。ご回答をありがとうございます。 確認させてください。 ★ （c）＝（d）なのです。リストアップされると仮定する事と、自然数と１対１対応できると仮定する事は、同じ事なのです。 ☆ ということは （ e ）のように対角線上の一つひとつの数を拾い上げるというときにも その拾い上げ作業じたいが 延々と限りなくおこなわれる。と考えてよいのですね。 したがって（ f ）のようにあらたな数を勝手につくるその作業も やはり延々とつづいて限りがない。と。 よって ★ したがって、Q３、Q４は、問いとして不成立なのです。 ☆ と。 ありがとうございます。 なお ▲ （ h ） すなわち、無理数全部の集合は自然数全部の集合よりも濃度において大であることが示される訳です。 ☆ におけるこの 《無限集合にはその大きさの大小があるということ》 なる命題じたいは 成立するということでしょうか。いまのこの証明は《勇み足》ではあるが カントールの定理は 真なのですね。 ありがとうございました。
お礼
いくつかマチガイをただしていただきました。ありがとうございます。 そして ご回答をありがとうございます。 そうですね。 今回は うけたまわりました。というかっこうになると思います。 あるいはそれとも たとえば ★ ～～～～ α さんは可算無限の終端が見えるので、そこではα さんも、可算無限と連続無限の比較において、我々が行う有限と可算無限の比較と、同じ「論理」を使うだろうと想定する。その一点に関してしか、数学は言わない。α さんの有限と、我々の有限が同じだなんて、誰が言った？。俺は言ってないぞ、と現在の数学は強弁します（するんですよ）。 以上が、「言葉（概念）の意味において矛盾ではないのか？」と問われれば、そうだと思います。それが現行数学の失ったものだと思います。数え尽くせたと仮定した存在として実無限を指定したのに、一定値を取らないとか・・・。 ～～～～～～ ☆ ここらあたりのことが 結論になるとおっしゃっていましょうか？ もうそのほかにはないのだと。 無限公理のおかれる座標に 対角線論法がそのまま用いられるとするのならば・そして直線論法は同時に用いられなくてよいということでしたら もう問い求めは済んでいると受け取らねばならないと思います。 あらかじめながら――どうなるか分かりませんが―― 感謝を申し上げます。ここまでおしえていただきありがとうございました。