角運動量・トルクを使わずに解く方法

質問

トルク、角運動量の変化の関係式を使わずに、この問題を解きたいと考えています。添付の図をご覧下さい。球Aが糸でつながれており、点Oに杭があり、糸は点Oを通ってB点で右方向に引っ張られています。したがって、Aには原点方向への向きをもつ張力が掛かっております。添付の図の際、Aの速度は0.5 m/secで、AからOまでの距離は1 mでした（角度AOBは与えられておりません）。この際、１秒後の速度を求めなさい、という問題です。O周りのトルク = O周りの角運動量の時間変化、の関係を使えば、比較的簡単に解けます。Aに働く張力は常に回転中心Oへ向かっているため、トルクはゼロとなり、0秒時と1秒後の角運動量が同じであることを示せばよいです。この問題は、トルクと角運動量という概念をニュートンの第二法則 ma = Fから導き出し、その有用さを示すために与えられたものです。たしかに、トルク・角運動量の関係式を使うと比較的すんなり解けることは理解できます、しかし、一方で、直接ニュートンの第二法則からこの問題を解くことの大変・難解さを理解したいです。そこで質問なのですが、トルク、角運動量の関係式を使わずに、ニュートンの第二法則から解答をする方法はないでしょうか。トルクと角運動量の関係式がニュートンの第二法則から導かれたので、ニュートンの第二法則からでも解けると思いますが、なんとも思い浮かばず、トルク・角運動量の関係式がないと絶対に駄目なのか、と思ってしまいます。恐らく複雑なな計算式となるかと思いますが、どうか教え下さい。宜しくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

物理屋の siegmund です．

第２法則の２次元極座標表示を使えば割合簡単です．
q は∠AOB ですね．あと，OA = r とします．
r の時間微分を (・q) などと書くことにします．
２階微分は (・・q) とします．
普通は・が q の真上につきますが，
テキストファイルで書いているのでこういう表現にしました．

第２法則の２次元極座標表示は，球Ａの質量を m として
(1)　　m{(・・r) - r(・q)^2} = F_r
(2)　　m{2(・r) (・q) + r(・・q)} = F_q
です．
F_r と F_q はそれぞれ力の r 方向と q 方向の成分．
今は糸が引っ張っているだけですから中心力で，F_q = 0．
したがって(2)から
(3)　　2(・r) (・q) + r(・・q) = 0
ですが，
(4)　　(d/dt) {r^2(・q)} = r{2(・r) (・q) + r(・・q)} = r×{(3)の左辺}
を使いますと，
(5)　　r^2(・q) = 一定
がわかります．
また，速度の成分 v_r，v_q と速さ v は，それぞれ
(6)　　v_r = (・r)
(7)　　v_q = r(・q)
(8)　　v = √{(・r)^2 + r^2(・q)^2}
です．

で，問題の値設定ですが，最初の点を添字１で表すことにして
(9)　　(・r)_1 = 0.3 [m/s]　(一定)
(10)　　r_1 = 1 [m]
(11)　　v_1 = 0.5 [m/s]
から，保存量(5)の値がわかります．
１秒後の場所を添字２にして
(12)　　(・r)_2 = 0.3 [m/s]　(一定)
(13)　　r_2 = 0.4 [m]
ですから，v_2 を求めるのは容易です．

なお，(5)の r^2(・q) に m を掛けた mr^2(・q) は角運動量に他なりません．
そういう点では角運動量保存則を使ったとも言えますが，
まあそういう保存則がある以上どこかに顔を出すのは仕方がないでしょうかね．

お礼

siegmund様、回答下さりありがとう御座います。
分かりやすく、とても勉強になります。

いくつか確認させて下さい。

■ 運動方程式の構成要素について

(1)　　m{(・・r) - r(・q)^2} = F_r
(2)　　m{2(・r) (・q) + r(・・q)} = F_q

の二つ式については、回転と直線運動を同時にする物体の運動方程式かと思います。
・・rは直線運動の加速度
- r(・q)^2は回転運動の向心加速度
2(・r) (・q) はコリオリ加速度
r(・・q)は回転運動の線加速度
という理解でよろしいでしょうか。

■ 第四式の導出
(4)　　(d/dt) {r^2(・q)} = r{2(・r) (・q) + r(・・q)} = r×{(3)の左辺}
とありますが、すみません、私にとってはかなり唐突に現れた感が御座いまして、
どうやってこの式が発想されるのかが分かりませんでした。siegmund様はこの式をどのようにして着想されたのでしょうか。もし角運動量という概念を知らない場合、どうこれを導き出すのか、過程を教えて頂けるととても勉強になります。

■「r 方向と q 方向」
質問の本質的なところとは関係しないのですが、物理、数学一般として、「q方向」というのは言い回されているものでしょうか。「r方向」は直感的にイメージがつくのですが、「q方向」、つまり角度についての方向、というのがピンときませんでした。接線方向と理解しております。バックグランドが物理でも数学でもなく、ただいま物理を勉強しなおしておりまして、こういった用語などの点にも疎く、教えて頂けますと幸いです。

再度の質問となり恐縮ですが、どうかよろしくお願い致します。

回答No.2

siegmund

siegmund です．

> ■ 運動方程式の構成要素について

各項の解釈はそれでＯＫです．
ただし，あまり直線運動と回転運動を分離して考えない方が良いと思います．
速度では v_r = (・r)，v_q = r(・q) と割合分離できたような形になりますが，
加速度ではコリオリ項にあるように両者がからんできます．

■ 第四式の導出

よく知っている式なので，じゃ答になりませんね(^^;)．
(1) (2)は一般的な式でどんな力にも使えますので，
(2)で F_q = 0 として式は中心力一般に使えます．
中心力の代表的なものは万有引力で，このときは惑星の運動問題(ケプラー問題)になります．
(2)の左辺の変形はケプラーの第２法則(面積速度一定)を導き出すのに使われる変形で
よくテキストに載っています．
面積速度一定の法則は本質的に角運動量保存則です．
さて，(2)の左辺ですが，(・r) (・q) と r(・・q) なので，
(d/dt){r(・q)} ではないかな？
う～ん，これだと (・r) (・q) + r (・・q) だから，係数２が合わないな．
じゃ，(d/dt){r^2(・q)} にしてみると？
2r(・r) (・q) + r^2 (・・q) で r が余分だが，これは r で割ればよいか．
うまく行った！
したがって，
2(・r) (・q) + r(・・q) = (1/r) (d/dt) {r^2(・q)}
答を知っていて，あとからこじつけているような気もします(^^;)．

■「r 方向と q 方向」
r 方向，q 方向というのは普通に使われています．
角度はθやφで表すことが多いので，θ方向，φ方向ということが多いですけれどね．
q 方向の意味はおっしゃるとおりです．
もう少し正確に言えば，
原点をＯ，問題にしている点(質点の位置)をＰとしまして，
r 方向はＯＰ方向，q 方向は r 方向に垂直で反時計回りの方向です．
２次元極座標系の基本ベクトルがまさにこの方向です．
(x,y) 直角座標系では x 方向，y 方向はいつでも同じ方向ですが，
極座標系 (r,q) では r 方向，q 方向はＰの場所によって変わりますので
注意が必要です．

お礼

siegmund様、

お礼が遅くなりまして失礼致しました。
今後とも色々と質問させて頂きますので、どうぞご教示頂ければと思います。
物理や数学は、化学や生物と異なり、「そういうものだ」とか「そういう結果だからしょうがない」ということが少なく、解れば解るほど面白いです。式が多いので回答文をご用意頂くのも大変だったことと思います。重ねましてありがとう御座いました。とても勉強になりました。