角運動量の合成について

質問

はじめまして。最近量子力学について勉強を始めたのですが、
角運動量の合成のところでいきなりつまづいてしまいました。

一般的な角運動量J1,J2を合成するとき、J=J1+J2であり、
j=j1+j2, j1+j2-1,..., |j1-j2|の(2j1+1)*(2j2+1)通りになることを
参考書で知りました。

今、j1=1, j2=2の場合を考えているのですが、その参考書にはJの図として
以下のようなものが載っていました。

http://a-draw.com/uploader/upload.cgi?mode=dl&file=2889
パスがかかっています。DLkey:J

3*5=15通りになることは理解できますし、図の1-aと2-aが合成されて5-a(Ｚ方向成分:3)となることは予想がつきます。
しかし、1-aから2-eまでのどれとどれが組み合わさって、右端の図のように描けるのかがわかりません。
例えばＺ方向成分:2となるものに関しては、1-aと2-b、1-bと2-aが考えられますが、それがどのような決まりごとによって4-aあるいは5-bとなっているのかが理解できていません。

とても基本的なことだと思いますし、私の理解の仕方が根本的に間違っているのかもしれませんが、よろしければご教示願いないでしょうか。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

|j,m>という状態を、あえて古典的なベクトルだと解釈するのなら、（J^2の固有値がj(j+1)でJzの固有値がmなので)長さが√(j(j+1))でｚ成分がmであるような「ベクトル」になりますよね。その図は、こう考えたときのベクトルが描かれているだと思います。

>図の1-aと2-aが合成されて5-a(Ｚ方向成分:3)となることは予想がつきます。
図の右方向をｘ軸にしたら、
1-aのベクトルは(1,0,1)で、2-aのベクトルは(√2,0,2)
となります。角運動量の合成とか仰々しい名前がついていますが、所詮はベクトル和ですよね。
1-aと2-aのベクトルを足すと(1+√2,0,3)になるわけですが、5-aのベクトル＝(√3,0,3)とは一致しません。

それでも、1-aと2-aを合成すると、5-aになりそうな気がしますか？

実際には、1-aのベクトルと2-aのベクトルの和は5-aのベクトルになっているわけですが、上の議論は何がよくなかったのだと思いますか？

ちなみに、|j,m>という状態のJxの期待値はいくらでしたっけ？
その結果は、上の議論で例えば、1-aのベクトル(=|1,1>)を(1,0,1)というベクトルだと思った事とは矛盾しないのでしょうか？

補足

自分で図を描いておいて何ですが、角運動量は各成分について同時固有状態を持たないので、jzが決まったときに他の二つが同時に決まることは無いように思います。

J1について
jz=1, j=√1*(1+1)=√2
∴√(jx^2+jy^2)=1

J2について
jz=2, j=√2*(2+1)=√6
∴√(jx^2+jy^2)=√2

つまり、半径とZ方向成分だけが確定できるのではないでしょうか？

回答No.3

eatern27

>それが角運動量の考え方にどのように適用されるのかは
>理解できていません。
まぁ、重ねあわせを古典論で理解するのは無理でしょうね。

でも、J=J1+J2という２つのベクトルの和を指定しても、J1,J2の個々のベクトルは決まりませんよね。その事を反映して、重ね合わせになっているのだ、と理解する事はできるでしょう。

お礼

何度も回答して頂いてありがとうございます。

良く考えてみて、やはりこの図は重ねあわせを反映しているということが理解できました。

いつか再び質問させていただくこともあるかと思いますが、その時もどうぞよろしくお願いします。

回答No.2

eatern27

あ、＃１と関係ない話になってしまいますが、念のために確認しておきたいのですが、

例えば、
1-aと2-bの組み合わせと,1-bと2-aの組み合わせの一方が4-aで他方が5-bとなっているのではなく、

4-aも5-aも、その2つの組み合わせの線形結合だ、ということはＯＫでしたか？

補足

そこを全く理解していないことに今気づきました。
線形結合の数学的な意味は知っているのですが、
それが角運動量の考え方にどのように適用されるのかは
理解できていません。