公務員試験の問題

質問

３の１００乗の簡単な計算方法を教えてください。

公務員の問題で、1月1日は月曜日で、３の１００乗日後は、何曜日かと出題されていました。 よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

(3^1)÷7のあまり=3
(3^2)÷7のあまり=2
(3^3)÷7のあまり=6
(3^4)÷7のあまり=4
(3^5)÷7のあまり=5
(3^6)÷7のあまり=1
...
以下、あまりは3, 2, 6, 4, 5, 1の周期をくり返します。
(3^100)÷7のあまりは(3^4)÷7のあまりと等しい（∵100÷6のあまり=4）ので、4です。
つまり、(3^100)日後の曜日は4日後の曜日と等しいので、
1月1日が月曜日だとすると、4日後の曜日は金曜日、となります。たぶん。

3^100をまともに計算していたら、日が暮れてしまいます。

お礼

なるほど。
助かりました！
ありがとうございます！！
スッキリしました！！

回答No.4

asuncion

＞以下、あまりは3, 2, 6, 4, 5, 1の周期をくり返します。

ここの話は、たぶん「剰余系」という話になると思います。
(3^1) mod 7 ≡ 3
から始まって（書き方が間違っていたら申し訳ありません）、
(3^2) mod 7 ≡ (「3」×3) mod 7 ≡ 2
(3^3) mod 7 ≡ (「2」×3) mod 7 ≡ 6
(3^4) mod 7 ≡ (「6」×3) mod 7 ≡ 4
(3^5) mod 7 ≡ (「4」×3) mod 7 ≡ 5
(3^6) mod 7 ≡ (「5」×3) mod 7 ≡ 1
... 以下同様

3のべき乗を計算するとき、上記までくらいでしたら手で計算できるかもしれませんが、
なかなか大変ですよね。
今回は、それらを7で割ったあまりさえわかればいいので、
上記のように、前の計算で出たあまり（上記の「」内の数値。「」の表記は本来不要）を3倍して、
7で割ったあまりを求めています。

お礼

専門的な解答ありがとうございます！！
解決しました！！

回答No.2

cruelman

３の１００乗をまともに計算するのではなくこれを７で割ったときの余りがいくらになるかを
計算するのが正解だと思います。
手計算で規則性を確認したところ３の６ｎ乗を７で割った余りが１になるようですので
これを利用するとよいでしょう。
１００は6×16+4ですので3の4乗を７で割った答えがすなわち３の１００乗÷７の余りとなります。

お礼

規則性があるとは思いませんでした！！
ありがとうございます。

回答No.1

f272

曜日がわかればいいのだから，3の100乗を計算するのではなく3の100乗を7で割った余りを計算すればよいでしょう。
ためしに3の1乗から3の7乗までの7で割った余りを計算してみたらどうかな。

お礼

いい視点ありがとうございます！