漸化式の求め方について

質問

An+1=4An-9の漸化式を解くとき、y＝xと連立して、その交点が（３，３）とでてx、yにそれぞれ（-３，-３）ずらせば原点を通り、だから(An+1)-3=4(An-3)が求めたいものだと言われたんですが、y＝４x－９は直線なんだから普通にx軸歩行に平行移動すれば原点通る直線になるんじゃないんですか？

よくわからなくなっています。よろしくおねがいします。

回答No.7

MagicianKuma · ベストアンサー

＞僕が一番最初に書いた質問に答えて欲しいから質問してるんです。別の方法は聞いていません。もし僕が別の方法が知りたいなら「別の方法が知りたいです」と質問するはずです
おぉ！失礼しました。　では疑問にお答えしましょう。
y=4x-9をx軸方向に平行移動して原点を通りようにできます。その場合方程式はy=4(x-α)となって、邪魔な-9が消えるのだけど、y-α=4(x-α)の形にはなりません。要はx軸方向と同じだけy軸方向を平行移動して原点を通り直線にしなければなりません。なので、y=xとの交点を求めるわけです。y=xとの交点は必ず（α,α)という形になります。なので、この交点位置を原点まで平行移動(-α,-α)させると原点を通り。y=f(x)がy-α=f(x-α)となるということです。

お礼

ありがとうございます！！！

回答No.6

alice_44

方法っていうか…
質問文中に書かれている説明っぽい雰囲気のモノは、
考え方でも何でもなく、A No.1 の「テクニック」を
覚え易くするための図解に過ぎません。だから、読んでも
理由が解らないんですよ。理由なんて、最初から書いてないから。

覚えて納得はしたくないなら、質問文の話は忘れたほうがいい。
この解法の要点は、No.1 さんが書いている如く、
漸化式を等比数列に帰着するための、小手先のテクニックにあるのです。

回答No.5

MagicianKuma

2カ所誤字があります。へんな文字"+a"が入りました。不要です。
A[n+1] = r・A[n+a] + d　　→　A[n+1] = r・A[n] + d

回答No.4

MagicianKuma

連立方程式も平行移動も全部忘れる事をおすすめします。妙なテクニックを覚えても百害あって一利なしです。
元々は、どうやって漸化式 A[n+1]=4A[n]-9　を解くかです。（解くためには初項A[1]も必要ですがそれはおいといて）
で、漸化式で比較的簡単なものは、次の二つでしょう。
(1) A[n+1] = A[n} + d　　　（等差数列)
(2) A[n+1] = r・A[n]　　　　（等比数列）
ところが今回の問題は、A[n+1] = r・A[n+a] + d　の形でそう簡単ではありません。
で、これを何とか、A[n+1]-α = r・(A[n]-α) の形に持って行けないかと考える訳です。そうすると、B[n] = A[n]-α とおけば、
A[n+1]-α = r・(A[n]-α)　は B[n+1] = r・B[n]　で(2)の形になります。というわけで、
A[n+1]=4・A[n]-9 を　何とかして、A[n+1]-α = r・(A[n]-α) にできないかと言うことです。直接やってみましょう。
A[n+1]-α = r・(A[n]-α)　から　A[n+1] = r・A[n]-rα+α です。　これと元の式　A[n+1]=4・A[n]-9　を比較します。
すると　-4α+α=-9 なので、α=3とすれば　一致します。　実際　A[n+1]-3=4(A[n]-3) → A[n+1]=4A[n]-9となります。
A[n+1]-3=4(A[n]-3)　B[n]=A[n]-3 と置けば、B[n+1]=4・B[n]　から　B[n]=B[1]・4^(n-1) の形で解けます。

はい！　要は、A[n+1] = r・A[n+a] + d　の形を　A[n+1]-α = r・(A[n]-α)　この形に持って行きたいだけなのです。
ですから、連立方程式も、グラフの平行移動も忘れてかまいません。

補足

回答者さんの方法は学校とか参考書とかに乗ってる一番オーそっドックすな方法ですよね。もしその方法をぼくが分かっていないのならばそれを直接質問するはずですよね。

僕が一番最初に書いた質問に答えて欲しいから質問してるんです。別の方法は聞いていません。もし僕が別の方法が知りたいなら「別の方法が知りたいです」と質問するはずです。

批判したいんじゃないんです。本当に、別の方法ではなくてこの方法が知りたいから質問してるんです。すみません。

回答No.3

asuncion

＞y＝４x－９は直線なんだから普通にx軸歩行に平行移動すれば原点通る直線になる

y=4x-9を、「単独で」平行移動する、という考え方ではなく、
y=4x-9
y=x
の2本の直線を、お互いの位置関係を保ちながら原点へ平行移動する、という考え方であろうと思います。
この場合、移動量は(-3,-3)しかないですね。

補足

｛「単独で」平行移動する、という考え方｝でできますか？

回答No.2

asuncion

＞An+1=4An-9
このような、隣接2項間の漸化式の場合、単純に
t=4t-9よりt=3を求めて
(An+1) - 3 = 4(An - 3)
を求める、という手もあります。わかりやすい方法をお選びください。

補足

なぜそうなるんですか？と質問してるんですが・・・。

回答No.1

asuncion

＞An+1=4An-9の漸化式を解くとき、y＝xと連立して

テクニックの一つとして覚えておきましょう。
(An+1)-3=4(An -3)
で、数列{An -3}が等比数列であることがわかればいいだけのことです。

補足

覚えて納得したくないから質問してるんです