微分積分の問題です。

質問

画像の問題がうまく解けなくて・・・

解法、アドバイスをいただけたら幸いです。

回答No.1

muturajcp

画像不鮮明のため
1
L=lim_{n→∞}∫_{0～1}{nx/(1+nx)}dx
とすると
L=lim_{n→∞}(1-[{log(1+n)}/n])=1

2
S={x^2+y^2+z^2=1,x,y,z≧0}とする
r^2=x^2+y^2
s^2=1+r^2
sds/dr=r
s=(√2)sint
ds/dt=(√2)cost
I=∬_{x^2+y^2≦1}√{(1-x^2-y^2)/(1+x^2+y^2)}dxdy
=2π∫_{0～1}r√{(1-r^2)/(1+r^2)}dr
=2π∫_{1～√2}√{(2-s^2)}ds
=2π∫_{π/4～π/2}[√{2-2(sint)^2}](√2)costdt
=2π∫_{π/4～π/2}2{(cost)^2}dt
=2π∫_{π/4～π/2}{1+cos(2t)}dt
=2π[x+{sin(2x)}/2]_{π/4～π/2}
=π(π-2)/2

Sの方程式を
r=(x,y,√(1-x^2-y^2))
D={(x,y)|0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1}
とする
r_x=(1,0,-x/√(1-x^2-y^2))
r_y=(0,1,-y/√(1-x^2-y^2))
r_x*r_y=(x/√(1-x^2-y^2),y/√(1-x^2-y^2),1)
|r_x*r_y|=1/√(1-x^2-y^2)
x=(sint)√(1-y^2)
dx/dt=(cost)√(1-y^2)
√(1-y^2-x^2)=(cost)√(1-y^2)
∫_{S}dS
=∬_{D}{1/√(1-x^2-y^2)}dxdy
=∫_{0～1}∫_{0～√(1-y^2)}{1/√(1-x^2-y^2)}dxdy
=∫_{0～1}∫_{0～π/2}dtdy
=π/2

3
底面Aの面積は
3π/4+1/2
だから
表面積は
S=3π/4+1/2+∫_{0～3π/4}(2√2){t+(√3/√2)sin(t)}sin(t)dt
S={9π+10+(3π+2)√3}/4
体積は
V=∫_{0～3π/4}(√2){t-sin(2t)/2}sin(t)dt
V=(9π+10)/12