傾きについてです。

質問

Ω⊂R^nは有界領域とします。
また、T>0とします。
u(t,x)∈(0,T]×Ωがある点(τ,z)∈(0,T]×Ωでuが正の最大値をとると仮定します。
このとき
(∂u/∂t)(τ,z)≧0
となるのは何故なのでしょうか？

(∂u/∂x)(τ,z)=0となるのに、tについての偏微分が０以上になる意味が理解できません。
どなたか解説をよろしくお願い致します。

回答No.1

muturajcp

点(τ,z)が(0,T]×Ωの端点
(τ,z)=(τ,T)
のとき、
(∂u/∂t)(τ,T)>0
となることもあります。

例)
Ω=(0,2)={x|0<x<2}⊂R
T=1
u:(0,1]×(0,2)→R
u(t,x)=t+x(2-x)
とすると
0<u(t,x)=t+x(2-x)≦2
u(1,1)=2
(τ,z)=(1,1)∈(0,1]×(0,1)
でuが最大値2をとる
(∂u/∂x)(1,1)=0となるのに
(∂u/∂t)(1,1)=1>0