高校物理 エネルギー

質問

図のPに下向きにv0の初速度を与える(Qは上向きにv0で動き出す)と、Pははじめの位置よりどれだけ下がるか

どうエネルギーの式をたてるのでしょうか
教えてください

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

２物体に働く力は、重力（保存力です）と、ロープからの張力です。
張力は保存力ではありませんが、ロープの両端では同じ大きさの力Ｔになっています。Ｐ，Ｑがｈだけ移動したとして、Ｐ，Ｑに作用する張力がする仕事を求めると、Ｐ点での張力の仕事は　Ｔ・(-h)　Ｑ点での張力の仕事は　Ｔ・ｈ　となりますから、その合計は　０　つまり、本問では張力は仕事をしない力として処理して良いということになります（このような、系の内部だけに働く力は一般に"内力"と呼ばれ、その仕事は常に０です）。
滑車は摩擦が無く回転できて、質量も０と見なすのが一般的ですから、滑車は無視して良いでしょう。
こうして、系に働く"外力"は、保存力である重力だけだということになりますから、系の力学的エネルギーは保存されることが保証されます。

つまり、力学的エネルギー保存則が成り立つのです。

重力による位置エネルギーは、基準点の選び方で値が違ってくるので、その点で不安があるかも知れません。つまり、どこに基準点をとったら良いだろうか？　と悩むかも知れません。でも、次のように考えれば、そんな不安は解消することでしょう。

力学的エネルギー保存則とは…
初めのＰの運動エネルギーをＫp，位置エネルギー（基準点は、Ｐに対して適当に選んだとします）をＵp
Ｐが最下点に達したときの運動エネルギーをＫ'p，位置エネルギーをＵ'p
初めのＱの運動エネルギーをＫq，位置エネルギー（基準点は、Ｑに対して適当に選んだとします。この基準点はＰの位置エネルギーを考えたときの基準点と異なっていても構いません）をＵq
Ｑが最上点に達したときの運動エネルギーをＫ'q，位置エネルギーをＵ'q
とすると、力学的エネルギー保存則は、
　Ｕp＋Ｋp＋Ｕq＋Ｋq＝Ｕ'p＋Ｋ'p＋Ｕ'q＋Ｋ'q
と書けることになります。これを変形すると
　(Ｕ'p－Ｕp)＋(Ｋ'p－Ｋp)＋(Ｕ'q－Ｕq)＋(Ｋ'q－Ｋq)＝０
この式から、Ｐ，Ｑそれぞれの、ＵやＫの変化分の総和が０である、と解釈して良いということになります。
(Ｕ'p－Ｕp)や(Ｕ'q－Ｕq)は基準点の取り方に無関係で、本問のように重力による位置エネルギーの変化では、それぞれの物体がどのくらい鉛直方向に移動したかという移動量を使って計算して良いことを意味しています。
本問では、基準点をどこに取るべきかと悩む必要は無いわけです。

ここから本題です。

Ｐ，Ｑがそれぞれ　h[m]移動したとすると
　Ｕ'p－Ｕp＝ｍｇ(－ｈ）＝－ｍｇｈ
　Ｋ'p－Ｋp＝０－(1/2)ｍ・ｖ0^2
　Ｕ'q－Ｕq＝Ｍｇｈ
　Ｋ'q－Ｋq＝０－(1/2)Ｍ・ｖ0^2

力学的エネルギー保存則より
　(Ｕ'p－Ｕp)＋(Ｋ'p－Ｋp)＋(Ｕ'q－Ｕq)＋(Ｋ'q－Ｋq)＝０
なので

(Ｍ－ｍ)・ｇｈ－(Ｍ＋ｍ)・(1/2)・ｖ0^2＝０

∴　ｈ＝…

別解）運動方程式を解く。

運動中、ロープに掛かる張力をＴとすると
Ｐ：下向きを正として、加速度の大きさをαとして
　ｍα＝ｍｇ－Ｔ
Ｑ：上向きを正として、加速度の大きさはＰと同じですからα
　Ｍα＝Ｔ－Ｍｇ
∴α＝(ｍ－Ｍ)ｇ/(Ｍ＋ｍ)
αは定数なのが明らかですから、運動は、等加速度直線運動になります。
初速度ｖ0で、距離ｈだけ移動したとき静止したとすると
等速直線運動の公式から
０－(ｖ0^2)＝2ｈ・(ｍ－Ｍ)ｇ/(Ｍ＋ｍ)
∴　ｈ＝…

お礼

わかりました
ありがとうございました

回答No.1

gohtraw

ＰがＶ０の初速度を持つ時、ＱもＶ０の初速度を持つので、動き始めた時の運動エネルギーは
（Ｍ＋ｍ）ｖ０＾２／２
動き始めた時の状態を位置エネルギーの基準とすると、この時の位置エネルギーはゼロです。

両者が停止したとき、Ｐが初めの位置よりｈだけ動いていたとすると、初期状態を基準とした位置エネルギーは
（Ｍ－ｍ）ｇｈ
両者が静止しているので、この時の運動エネルギーはゼロです。

従ってエネルギー保存則より
（Ｍ＋ｍ）Ｖ０＾２／２＝（Ｍ－ｍ)ｇｈ

これを解いて下さい。

補足

初期状態を基準とした位置エネルギーが（Ｍ－ｍ）ｇｈとなるのは何故ですか？
Mghだけ位置エネルギーが減ってmghだけ位置エネルギーが増えたから全体的に増えた位置エネルギーはmgh-Mgh(つまり(m-M)gh)じゃないんですか？