運動する2つの電荷がある系の電流エネルギーの求め方

質問

お世話になります。
電磁気学を勉強中にわからないことが出てきましたので教えてください。

２つの点電荷q1, q2 があるとき、「静電エネルギー」は
k q1 q2 / r
で表されるかと思います。

一方、q1, q2 がそれぞれ速度 v1→, v2→ で運動している場合の「電流のエネルギー」の求め方がわかる方、教えていただけませんでしょうか。

手元の教科書によると、添付図(A)のように v1→ と v2→ が平行な場合なら、電流のエネルギーは
U ＝ (q2 v2→)・(A1→)
＝ (μ/4π) q1 q2 (v1→・v2→) / r (・は内積）・・・(1)
と表せることはわかりました。

しかし(1)の式は添付図(B)のようにv1→とv2→が平行ではない場合は成り立たないと考えています。
理由は、例えば v1→とv2→が直交している場合を考えると、(1)は位置によらずゼロになってしまい、q1とq2の間には力が働かないという結果になってしまうためです。

何か勘違いしているのかもしれません。

お忙しいところお手数ですがご回答いただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

kiyos06 · ベストアンサー

>q1, q2 間に磁気力は働かないということでしょうか？
10)電流変化による力はある。
11)電流変化(移動) -> 磁界変化 ->電界 -> 電荷に影響はある。

>「電流のエネルギー」の求め方
12)これは定義による。
12.1)2電流間の移動時のエネルギー増減であれば、直交している時にはない。
12.2)直交しているときには力が働かないから。
13)角度的に最も大きくなる平行電流で定義すれば、その形で求まる。

参考URL：

http://qanda.rakuten.ne.jp/profile/answer/history/u946114.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご回答をヒントに自分でもいろいろ考えて、下記のとおり納得しました。

ベクトル解析の恒等式から
q2 v2×B1 ＝ q2 v2×(rot A1)
＝ q2∇(v2・A1)－q2(v2・∇)A1－q2(A1・∇)v2－q2 A1×(∇×v2)

・v2 と A1 が平行なとき
右辺第2～4項がゼロ、第1項を計算すると q2 v2×B1 が 出てきました。

・v2 と A1 が直交するとき、
右辺第1、3、4項はゼロ、第2項を計算すると q2 v2×B1 が出てきました。

つまり、スカラーポテンシャルのように
qv×B = －∇U
の形に書けるのは、v2 とA1 が直交するときだけということがわかりました。

補足

すみません、お礼コメントに書いた最後の
> の形に書けるのは、v2 とA1 が直交するときだけということがわかりました。
は
> の形に書けるのは、v2 とA1 が平行なときだけということがわかりました。
の間違いです。

回答No.1

kiyos06

1)電流は、電荷と同じような山の形をしたポテンシャルを持つことはない。
2)電流は、ベクトルポテンシャルという筒状(円状)のポテンシャルとなる。

>v1→とv2→が直交している場合を考えると
2.1)ベクトルポテンシャルとしては、影響はなくなってしまう。
3)YahooやGoogleで「ベクトルポテンシャル」を検索する。
3.1)到達できる検索法(参考URL)

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n320452

お礼

ご回答ありがとうございます。

> ベクトルポテンシャルとしては、影響はなくなってしまう。

ベクトルポテンシャルが筒状であることは理解していたのですが、
直交すると影響がなくなるんですね。

ということは、q1, q2 間に磁気力は働かないということでしょうか？

てっきり、例えば q2 には 静電気力 q2 (E1→) (E1→はq1が発する電界）以外に q2 (v2→)×(B→) の磁気力が働くと思っていました。

ネットを検索してもなかなか直交する場合の例題が見つかりませんでした。