アキレスと亀のパラドックスについて

質問

アキレスと亀のパラドックスについて質問です。
このパラドックスを説明するのにほとんどが無限等比級数を使って、説明していますが理解に苦しんでいます。ゼノンは今回出る無限等比級数の和を本当はある値に収束するのにもかかわらず無限であると勘違いしたんですよね。しかし仮に今回の無限等比級数の和がある値に収束したわかってたとしても、それは無限の操作をし終えてやっと追いつくんではないんですか？でも実際に無限の操作をし終えるというのは数学上でも現実ではありえないことです。でも現実ではおいついている・・・。もう訳がわかりません。どんなサイトでも、最終的に得意の無限等比級数を登場させて、「はい、収束するでしょう、だから追いつくのです。」と説明していますが、理解に苦しみます。

実際には中学一年生の速さの問題で出るような程度の数学で追いつく時間や距離が求まることは知っていますが・・・。でも実際追いつこうとしているときはゼノンが言っているとおり、毎回亀の位置にアキレスは到達しているし・・・。つまり距離自体は有限だが勝手にゼノンが無限分割しているだけだというのもわかりますが、実際追いつこうとするときその無限分割した点を通ってるし・・。

誰かご教授してください！！

回答No.6

ta20000005

前の方もおっしゃっていますが、ゼノンは等速運動とは言ってなくて、アキレスが亀より速いという条件しかつけていません。そして、これだけだと実際に追いつけない場合があります。だからまったくの嘘を言ってるわけでも無いんです。まあ本当なら追いつける場合を扱わなきゃパラドクスになりませんから、等速運動にしとくのが話としては面白いんでしょうけど。
で。無限の操作を気にされているようですが、このような無限の操作は日常茶飯事に行われています。たとえば、コップの水を捨てるという行為は
コップの水を1/2にする
コップの水を1/4にする
コップの水を1/8にする
…
という無限の操作を行っています。
アキレスと亀とこのコップの共通点は、連続した動作に対して区切りを動作から離れてつけていることだと思います。このような区切りはいくらでも細かく設定できますから、無限の操作はこの意味で可能なんです。しかし、人間が操作を意識しながら行動する時は、必ず一定の時間を必要としますね。つまり、区切りを「つけながら」操作をすると、その一定の時間が無限に積み重なり無限の時間を必要とします。しかし、アキレスと亀の状況はコップの水同様区切りをつけてから観察しているのに過ぎません。従って、一定の時間をかけることなく(収束するような時間しかかけずに)無限の操作が実行されます。
この感覚のギャップによる錯覚がアキレスと亀の根っこにあります。
なお、ゼノン自身の主張は４つのパラドクスを合わせて行われていますので、本当はこのパラドクスだけを批判すること自体方向がずれているような気はします。

回答No.5

B-juggler

ちょいとお邪魔しようかな？

代数学の元非常勤です。

えっとね、ここで無限級数使う必要はないんです。

　＃すごく単純に行くとね。

＞アキレスと亀は一定の速さで進んでいますよね。

これが違う！！

前の方がかいてありますけれど、「時間」を無視しているだけ。

速度は一定ではないよ？

アキレスの方が足が速い　からハンデもらうわけでね。

「同じ時間の流れの中にいる」　これが無視されているんですよ。

同じ理屈で行けば、「拳銃の弾は当たらない」って言うこともできる。

弾のスピードを変えてしまえばいい。

　＃つまり、時間の流れを変えている。弾の飛ぶスピードだけ変えているのだから。

あたかもできるように書いているから、パラドックスなんだよ＾＾；

無限級数どうのこうの、より、「時間の流れの無視」。

こっちでとってみた方がしっくり来ると思うよ？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.4

178-tall

「無限の操作」の回数が無限だとしても、それに要する時間は無限だとは限らない…のじゃありませんか？
ゼノン与党派が、所要時間の吟味を拒否しているだけ。

回答No.3

ok1ok2ok3

アキレスが亀に追いついたとき、亀は右前足を前に出していたとします。次の瞬間、亀は前に進むために今度は左前足を前に出そうとしますが、亀が左前足を前方に伸ばしきる前に、アキレスは足が速いので亀を追い抜くことが出来ました。

補足

アキレスと亀は一定の速さで進んでいますよね。

回答No.2

noname#194996

要するに、あなたはゼノンの術中にはまってしまったということです。

＞ゼノンは今回出る無限等比級数の和を本当はある値に収束するのにもかかわらず無限であると勘違いしたんですよね。

ゼノンが勘違いをしたかどうかはわかりませんが、少なくともその時期には微分積分の考え方がなかったので彼の言い方で(あなたのように）だまされた人が多かったということでしょう。

＞しかし仮に今回の無限等比級数の和がある値に収束したわかってたとしても、それは無限の操作をし終えてやっと追いつくんではないんですか？でも実際に無限の操作をし終えるというのは数学上でも現実ではありえないことです

確かに無限に分割するのは現実にはありえないことです。有限の時間を無限に分割するというのは単なるゼノンの巧妙な目くらまし的ないい方であって、どんなコンピュータもこんな場合無限には分割せずに有限回で計算しています。
細かく分ければ分けるほど単位時間は０に近づくわけで、結局和は分割数の大小にはかかわらないのです。

回答No.1

k_kota

数学上は無限の操作をするのは可能です。
というか無限の操作をした結果が収束点の値です。

現実に無限回の操作や演算をする、と言うのは不可能ですが、これはこの件とは関係ないでしょう。

無限の操作で有限距離の中で収束するなら、まあ問題ないとは思います。
もっとも、これは解法が問題に合ってないよってのが先に来る様な気もしてます。

とりあえず、落ち着いて問題を整理したらよいのではないでしょうか。
これだけだと理解不能な点が分からないので、
どのような論理展開をして、どこまで分かってどこから分からないのかを示したほうが説明しやすいと思います。