この式を積分することはできますか？

質問

http://or2.mobi/index.php?mode=image&file=35086.jpg

この式を変数xで積分したいのですが
どのようにすれば良いでしょうか？

どなたかよろしくお願い致します。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

A#2の補足の質問について

>一つ目のご回答の方が正しいと思うのですが、
どこが間違えていますでしょうか？
>log[{1+αexp(βx)}/{1-αexp(βx)}]
これは問題の式ではなく
log[{1+αexp(-βx)}/{1-αexp(-βx)}]
が問題の式です。

A#2については
A#1について
誤：∫log[{1+αexp(βx)}/{1-αexp(βx)}]dx
　　=(1/β)[li[2]{αexp(βx)}-li[2]{-αexp(βx)}] +C

正：∫log[{1+αexp(-βx)}/{1-αexp(-βx)}]dx
　　=(1/β)[li[2]{exp(βx)/α}-li[2]{-exp(βx)/α}]+iπx+C　(☆)
ただし、Cは任意定数。
で差し替えて下さい。

（☆）を微分すると問題の式の
　log[{1+αexp(-βx)}/{1-αexp(-βx)}]
に戻ります。
ここで、log(-1)=iπ です。

なお、A#2の後半の「正：」の式は数式処理サイトWolframAlpha（参考URL参照）を利用して積分した結果の式です。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

お礼

丁寧なご回答ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

二転三転して、結局、
A No.3 と同じになったということ？

回答No.3

alice_44

(1/β){ Li_2( (1/α)exp(βx) ) - Li_2( -(1/α)exp(βx) ) } + πix + (定数)
のような気がするけど？

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の回答に誤植がありましたので訂正します。

誤：∫log[{1+αexp(βx)}/{1-αexp(βx)}]dx
　　=(1/β)[li[2]{αexp(-βx)}-li[2]{-αexp(-βx)}]

正：∫ln[{1+αexp(-βx)}/{1-αexp(-βx)}]dx
　　=(1/β)[Li[2](-αexp(-βx))-exp(1/α)Ei(ln(-βx)-(1/α))
+βx{ln((αexp(-βx)+1)/(1-αln(-βx)))
　　 -ln(αexp(-βx)+1)} ] + C
ここで、Ei(x)は指数積分関数（参考URL参照）、
　　　　Li[2](x)はダイロガリリズム関数です。
　　　　(http://maths.dur.ac.uk/~dma0hg/dilog.pdf)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/指数積分

お礼

ありがとうございます。

=(1/β)[li[2]{αexp(βx)}-li[2]{-αexp(βx)}]
を微分すると

log{1+αexp(βx)}/t - log{1-αexp(βx)}/t

= log[{1+αexp(βx)}/{1-αexp(βx)}]

となって、一つ目のご回答の方が正しいと思うのですが、
どこが間違えていますでしょうか？

回答No.1

info22_

∫log[{1+αexp(βx)}/{1-αexp(βx)}]dx
=(1/β)[li[2]{αexp(βx)}-li[2]{-αexp(βx)}]
ここで
li[2]は特殊関数のダイログ関数(Dilogarithm function,参考URL参照)です。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html