次の集合は開集合ですか？解き方がわかりません

質問

R^3の標準的距離で、
A＝{(x,y,z)| x,y,zはZに属す}

B＝｛(x,y,z)は座標空間の点|　x^2≦y｝
おねがいします

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

これ、どの段階までの回答を求めているのだろうか？
それによって、回答が大きく変る。

Bの補集合を求め、
Bの補集合＝｛(x,y,z)は座標空間の点|　x^2＞y｝
は開集合、
よってBは閉集合（開集合ではない）
それとも、この問題は、
x^2＞yをみたす(x,y,z)が開集合であることまで証明しなければならないのだろうか？

Bの部分集合C = {(x,y,z)|x^2 = y}が境界であることから、「Bが開集合でない」ことは自明なのだけれど、それを使ってよいものかどうか....

Aも閉集合（開集合でない）。
なぜならば、Aの補集合が開集合であるから。
　これも、Aの補集合が開集合であることまで証明しなければならないのだろうか？

点列の収束を使って証明することもできそうだけれど....

お礼

ありがとうございました。
これはAの補集合がなぜ開集合なのかもイプシロン近傍？を考えて証明する必要があるんですが、あまりに勉強不足なので参考書を見て自学してみます。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「開集合」の定義を満たすかどうか調べる.

お礼

ありがとうございました。