慣性モーメントを扱う問題について

質問

慣性モーメントI、半径Rの滑車に糸を書け、その両端に質量mA、mBの物体AとBをつるした。
鉛直上向きを正にとり、それぞれの加速度aA、aBを求めよ。

mAaA=T-mAg
mBaB=T-mBg
の2つから求められると思ったのですが解答を見ると
aA=g(mB-mA)/(mA+mB+(I/R^2))
となっています。物体A,、Bには他に何か力が加わるのか分かりません。
回転の運動方程式も使ってみたのですが出来ませんでした。
よろしくお願いします。

回答No.1

boobee0125

>mAaA=T-mAg
>mBaB=T-mBg
>の2つから求められると思ったのですが

滑車はバランスしているわけではないので糸の張力は同じではありません。

滑車の右側に A、左側に B を吊るし、左方向への回転角をθ、周方向の移動距離を x とします。時間についての２回微分を"で表すことにすれば

aA = x"　　　　----- (1)
aB = -x"　　　 ----- (2)　
θ"=x"/R　　　 ----- (3)　

などの関係があります。これらから運動方程式を立てれば

mA・x" = TA - mA・g　　　　　　 ------ (4)
-mB・x" = TB - mB・g　　 　　　 ------ (5)　
I・θ"= I・x"/R = (TB - TA)・R　------ (6)

(4)、(5)→(6)/R より

(I/R^2)・x" = mB・g - mB・x" - mA・g - mA・x"
⇔
(I/R^2 + mA + mB)・x" = (mB - mA)・g

これと(1)より

aA = g・(mB - mA)/(mA + mB + I/R^2)　
aB = - aA

が得られます。